 |
A K. 501. feladat (2016. március) |
K. 501. Az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) pontok egy síkban helyezkednek el. Az \(\displaystyle e\) egyenes a síkban az \(\displaystyle A\)-tól 2 cm-re, a \(\displaystyle B\)-től pedig 3 cm-re van. Adjuk meg az ilyen \(\displaystyle e\) egyenesek számát az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság függvényében.
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A megfelelő \(\displaystyle e\) egyenesek az \(\displaystyle A\) középpontú, 2 cm sugarú és a \(\displaystyle B\) középpontú, 3 cm sugarú körök közös külső és belső érintői.
Ha az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság 5 cm-nél nagyobb, akkor két közös külső és két közös belső érintő van, tehát négy megfelelő egyenes van.
Ha az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság 5 cm, akkor a körök érintik egymást, két közös külső, és egy közös belső érintő van, tehát három megfelelő egyenes létezik.
Ha az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság 5 cm-nél kisebb, de 1 cm-nél nagyobb, akkor a két körnek csak közös külső érintői vannak, tehát két megfelelő egyenest találunk.
Ha az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság 1 cm, akkor a két kör belülről érinti egymást, egy közös érintő és így egy egyenes van.
Végül, ha az \(\displaystyle \overline{AB}\) távolság 1 cm-nél kisebb, akkor a \(\displaystyle B\) középpontú kör tartalmazza az \(\displaystyle A\) középpontú kört, így nincs közös érintő. Tehát ekkor nincs megfelelő egyenes.
Statisztika:
A KöMaL 2016. márciusi matematika feladatai