 |
A K. 510. feladat (2016. szeptember) |
K. 510. Az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) nem feltétlenül különböző valós számok. Tudjuk, hogy \(\displaystyle ab=c\), \(\displaystyle bc=a\) és \(\displaystyle ca=b\). Adjuk meg \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) összes lehetséges értékét.
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a megadott összefüggések bal és jobb oldalait összeszorozzuk, akkor az \(\displaystyle (abc)^2=abc\) összefüggést kapjuk. Innen \(\displaystyle abc\) vagy \(\displaystyle 0\), vagy \(\displaystyle 1\).
1. eset: \(\displaystyle abc=0\). Ekkor közülük legalább az egyik \(\displaystyle 0\), legyen ez \(\displaystyle a\). Ekkor \(\displaystyle ab=c\) és \(\displaystyle ca=b\) miatt \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) is \(\displaystyle 0\).
2. eset: \(\displaystyle abc=1\). Mivel \(\displaystyle ab=c\), ezért vagy \(\displaystyle ab=c=1\) vagy \(\displaystyle ab=c=–1\) áll fenn. Tehát \(\displaystyle c=1\) vagy \(\displaystyle –1\), ugyanez igaz \(\displaystyle a\)-ra és \(\displaystyle b\)-re is. Ellenőrizve a lehetőségeket, csak az alábbi táblázatba foglalt értékek adnak helyes megoldást:
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle b\) | \(\displaystyle c\) |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | –1 | –1 |
| –1 | 1 | –1 |
| 1 | –1 | –1 |
Tehát összesen 5 megoldást kaptunk.
Statisztika:
A KöMaL 2016. szeptemberi matematika feladatai