A K. 516. feladat (2016. október)

K. 516. Adott két halmaz: \(\displaystyle A = \{a; 2a+1; a^{2}+1\}\); \(\displaystyle B =\{b+3; 10; b-1\}\). Keressünk olyan \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számokat, amelyekre a két halmaznak

\(\displaystyle a)\) nincs közös eleme;

\(\displaystyle b)\) pontosan 1 eleme közös;

\(\displaystyle c)\) pontosan 2 eleme közös;

\(\displaystyle d)\) minden eleme azonos.

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Legyen \(\displaystyle a = 1\), így \(\displaystyle A = \{1; 3; 2\}\), ha pl. \(\displaystyle b = 10\), akkor \(\displaystyle B = \{13; 10; 9\}\).

b) Legyen \(\displaystyle a = 10\), így \(\displaystyle A = \{10; 21; 101\}\), ha pl. \(\displaystyle b = 10\), akkor \(\displaystyle B = \{13; 10; 9\}\).

c) Legyen \(\displaystyle a = 10\), így \(\displaystyle A = \{10; 21; 101\}\), ha \(\displaystyle b = 18\), akkor \(\displaystyle B = \{21; 10; 17\}.\)

d) Keressük meg, melyik elem lehet az \(\displaystyle A\) halmazból 10. Ha \(\displaystyle a = 10\), akkor az \(\displaystyle A\) halmaz elemei: 10, 21, 101, viszont a \(\displaystyle B\) halmazban \(\displaystyle b+3\) és \(\displaystyle b–1\) különbsége 4, így azok nem lehetnek semmilyen \(\displaystyle b\) érték mellett 21 és 101. \(\displaystyle 2a+1\) nem lehet 10, mert \(\displaystyle a\) egész szám. Ha \(\displaystyle a^2+1=10\), akkor \(\displaystyle a = 3\), az \(\displaystyle A\) halmaz elemei pedig: 3, 7, 10. Ha \(\displaystyle b = 4\), akkor a \(\displaystyle B\) halmaz elemei is ezek.

Statisztika:

121 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	77 versenyző.
5 pontot kapott:	26 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2016. októberi matematika feladatai