A K. 554. feladat (2017. október)

K. 554. Leírjuk az egész számokat 1-től 2017-ig a következőképpen. Először leírjuk növekvő sorrendben azokat, amelyek nem oszthatók 3-mal. Majd pedig, amelyek oszthatók 3-mal, de nem oszthatók 9-cel, utána azokat, amelyek oszthatók 9-cel, de nem oszthatók 27-tel, és így tovább.

\(\displaystyle a)\) Mi az utolsóként leírt szám?

\(\displaystyle b)\) Hányadikként írtuk le a 2017-et?

\(\displaystyle c)\) Hányadikként írtuk le a 2016-ot?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Mivel \(\displaystyle 3^6=729\) és \(\displaystyle 3^7=2187>2017\), ezért az utolsóként leírt szám a \(\displaystyle 729\) azon többszöröse lesz, ami nem nagyobb \(\displaystyle 2017\)-nél. Ez pedig a \(\displaystyle 2\cdot729=1458\).

b) Mivel \(\displaystyle 2016\) számjegyeinek összege \(\displaystyle 9\), ezért osztható \(\displaystyle 9\)-cel és így \(\displaystyle 3\)-mal is, \(\displaystyle 2016/3=672\). A \(\displaystyle 2017=2016+1\) pedig nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal. \(\displaystyle 2016\)-ig \(\displaystyle 2\cdot672=1344\) darab, \(\displaystyle 3\)-mal nem osztható szám van, így a \(\displaystyle 2017\) az \(\displaystyle 1345\). leírt szám lesz.

c) Már láttuk, hogy \(\displaystyle 2016\) osztható \(\displaystyle 9\)-cel: \(\displaystyle 2016/9=224\). Ez már nem osztható \(\displaystyle 3\)-mal, hiszen a számjegyeinek összege \(\displaystyle 8\). Tehát \(\displaystyle 2016\) nem osztható \(\displaystyle 27\)-tel.

Már láttuk, hogy \(\displaystyle 3\)-mal nem osztható szám \(\displaystyle 1344\) darab van \(\displaystyle 2017\)-ig. \(\displaystyle 3\)-mal osztható \(\displaystyle 672\), \(\displaystyle 9\)-cel osztható \(\displaystyle 2016/9=224\). Tehát olyan, ami \(\displaystyle 3\)-mal osztható, de \(\displaystyle 9\)-cel nem, az \(\displaystyle 672-224\) darab van. Mivel \(\displaystyle 2016/27=74 \frac69\), ezért \(\displaystyle 74\) darab \(\displaystyle 27\)-tel osztható szám van. Tehát olyan szám, ami \(\displaystyle 9\)-cel osztható, de \(\displaystyle 27\)-tel nem, \(\displaystyle 224-74\) darab van, ebből az utolsó a \(\displaystyle 2016\). Tehát a \(\displaystyle 2016\) a sorban az \(\displaystyle 1345+(672-224)+(224-74)=1943\).

Statisztika:

169 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	100 versenyző.
5 pontot kapott:	41 versenyző.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai