A K. 555. feladat (2017. október)

K. 555. Melyik az a három szomszédos egész szám, amelyek szorzata éppen az összegük ötszöröse?

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a középső számot \(\displaystyle n\)-nel.

A három szám összege \(\displaystyle n – 1 + n + n + 1 = 3n\), a szorzatuk \(\displaystyle (n-1)n(n+1)=n^3-n\).

A feltétel szerint \(\displaystyle n^3-n=15n\), ahonnan \(\displaystyle n^3-16n=n(n^2-16)=0\).

Tehát \(\displaystyle n=0\) az egyik megoldás. A másik megoldás \(\displaystyle n^2=16\), ahonnan \(\displaystyle n=-4\), illetve \(\displaystyle n=4\).

Tehát három ilyen számhármas van: \(\displaystyle –5\), \(\displaystyle –4\), \(\displaystyle –3\); \(\displaystyle –1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\). Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért mindhárom számhármas jó megoldás.

Statisztika:

231 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	62 versenyző.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai