A K. 557. feladat (2017. október)

K. 557. Egy \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) oldalfelező pontjait összekötöttük a négyzet csúcsaival az ábrán látható módon. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle AT = TV\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Szimmetria miatt \(\displaystyle T\) és \(\displaystyle V\) az \(\displaystyle AC\) átló egyenesén vannak, \(\displaystyle AK=KC\) és \(\displaystyle TK=KV\).

Az \(\displaystyle ABD\) háromszögnek \(\displaystyle T\) a súlypontja, mert \(\displaystyle BS\) és \(\displaystyle DP\) súlyvonalak. A \(\displaystyle DBC\) háromszögnek \(\displaystyle V\) a súlypontja, mert \(\displaystyle BR\) és \(\displaystyle DQ\) súlyvonalak. A háromszög súlypontja a csúcstól távolabbi harmadoló pont a súlyvonalon. Ezért \(\displaystyle AT = 2TK=TK+ KV =TV\).

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	53 versenyző.
5 pontot kapott:	22 versenyző.
4 pontot kapott:	13 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2017. októberi matematika feladatai