Problem K. 581. (February 2018)

K. 581. Find all four-digit square numbers of the form ABBA.

(6 pont)

Deadline expired on March 12, 2018.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle ABBA = 1001A+110B=11\cdot(91A+10B)\). Ez csak akkor lehet négyzetszám, ha \(\displaystyle 91A+10B\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel, vagyis \(\displaystyle 91A+10B=88A+11B+(3A-B)\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. Ez pedig csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle 3A-B\) (ami negatív szám is lehet) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. Mivel \(\displaystyle ABBA\) négyzetszám, ezért \(\displaystyle A\) lehetséges értékei \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), azaz a megfelelő párok: \(\displaystyle 1-3\), \(\displaystyle 4-1\), \(\displaystyle 5-4\), \(\displaystyle 6-7\), \(\displaystyle 9-5\). Tehát \(\displaystyle 1331\), \(\displaystyle 4114\), \(\displaystyle 5445\), \(\displaystyle 6776\) és \(\displaystyle 9559\) a szóba jöhető számok. Ezek egyike sem négyzetszám.

Statistics:

93 students sent a solution.
6 points:	61 students.
5 points:	5 students.
4 points:	7 students.
3 points:	3 students.
2 points:	9 students.
1 point:	6 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2018