A K. 586. feladat (2018. március)

K. 586. Egy szabályos hatszög egy belső pontja három egymást követő csúcstól rendre 4, 4 és 8 egységnyire van. Hány egység a hatszög egy oldala?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A belső pont az ábrának megfelelően legyen \(\displaystyle P\). Ekkor \(\displaystyle RO\) az \(\displaystyle AOB\) szabályos háromszög magassága, így \(\displaystyle RO = \frac{\sqrt3}{2} r\). A \(\displaystyle CPO\) és az \(\displaystyle APR\) derékszögű háromszögek hasonlók, mivel átfogójuk és egy-egy befogójuk aránya megegyezik, így \(\displaystyle RP:PO = 1:2\). Tehát a \(\displaystyle CPO\) háromszögben az oldalak \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \frac23 \cdot \frac{\sqrt3}{2} r = \frac{\sqrt3}{3} r\). Felírva a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle 8^2 = r^2 + \frac39 r^2\), ahonnan \(\displaystyle 64 = \frac43 r^2\), \(\displaystyle r = 4\sqrt3\).

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Biró 424 Ádám, Csatári Alina, Cserkuti Sándor, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Imreh Júlia, Izsa Regina Mária, Kéri Botond, Kovács 987 Zsófia, Lakatos Enikő, Lengyel Katalin, Orosz Bence, Sas 202 Mór, Sümegi Géza, Szeibert Barnabás, Tompos Anna, Zempléni Lilla.
5 pontot kapott:	Ábri Attila Gergő, Balkányi Zsófia, Berényi Dorottya Elanor, Kadem Aziz.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai