A K. 588. feladat (2018. március)

K. 588. Legyenek \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) olyan négyjegyű számok, melyekre \(\displaystyle A > B\), továbbá \(\displaystyle A\) számjegyeinek sorrendjét megfordítva \(\displaystyle B\)-t kapjuk. Mi lehet \(\displaystyle A-B\) legkisebb, illetve legnagyobb értéke?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek \(\displaystyle A\) számjegyei \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) és \(\displaystyle d\). Ekkor \(\displaystyle A = 1000a + 100b + 10c + d\), továbbá \(\displaystyle B = 1000d + 100c +10b + a\). Felírható \(\displaystyle A – B = 999a – 999d + 90b – 90c = 999(a–d) + 90(b–c)\). Mivel \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) négyjegyű számok, ezért \(\displaystyle a ≠ 0\) és \(\displaystyle d ≠ 0\), továbbá \(\displaystyle A > B\) miatt \(\displaystyle a = d\) és \(\displaystyle b = c\) nem teljesülhet egyszerre. A lehető legkisebb különbséget \(\displaystyle a = d\) és \(\displaystyle b – c = 1\) esetén kapjuk, ennek értéke \(\displaystyle 90\), pl.: \(\displaystyle A=1321\) és \(\displaystyle B = 1231\) esetén. A lehető legnagyobb különbség akkor adódik, ha a feltételeket figyelembe véve \(\displaystyle a – d\) és \(\displaystyle b – c\) értéke is a lehető legnagyobb. Ez \(\displaystyle a – d = 8\) és \(\displaystyle b – c = 9\) esetén áll fenn, a legnagyobb különbség tehát \(\displaystyle 999 \cdot 8 + 90 \cdot 9 = 8802\), \(\displaystyle A = 9901\) és \(\displaystyle B = 1099\) esetén.

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Andó Lujza, Bagyinszki Ádám, Balkányi Zsófia, Balogh Domonkos, Biró 424 Ádám, Buzás Bence István, Csatári Alina, Éliás Orsolya, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fonyi Máté Sándor, Gárdi Bálint, Györgyfalvai Fanni, H. Tóth Noel, Hajdú Bálint, Horcsin Bálint, Izsa Regina Mária, Kiss 728 Blanka, Kovács 787 Zsófia, Kovács Gábor Benedek, Lengyel Katalin, Mácsai Dániel, Mályusz Etre, Oláh Benedek, Róth Rebeka, Ryan Voecks, Schenk Anna, Sümegi Géza, Tompos Anna, Tóth 612 Miklós Dániel, Varga 225 Balázs, Zempléni Lilla.
5 pontot kapott:	Gubik Boglárka, Kadem Aziz, Lakatos Enikő, Nánási-Kocsis Gergely, Rassai Erik, Szabó Csege, Szalontai Dorina Enikő, Szappanos Miklós, Vavra Otília.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	7 dolgozat.

A KöMaL 2018. márciusi matematika feladatai