A K. 601. feladat (2018. november)

K. 601. Egy hegyesszögű $\displaystyle ABC$ háromszögbe olyan 4 cm oldalhosszúságú $\displaystyle PQRS$ négyzetet lehet írni, melynek $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ csúcsa az $\displaystyle AB$ oldalon, $\displaystyle R$ csúcsa a $\displaystyle BC$ oldalon, $\displaystyle S$ csúcsa pedig az $\displaystyle AC$ oldalon van. Mekkora a háromszög területe, ha az $\displaystyle AB$ oldal hossza 8 cm?

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle F$ az $\displaystyle AB$ oldal felezőpontját. $\displaystyle AFBS$ és $\displaystyle FBRS$ paralelogramma, hiszen két-két oldaluk 4 cm hosszú és párhuzamosak. Így $\displaystyle SFRC$ is paralelogramma, hiszen szemközti oldalai párhuzamosak. Ezért az $\displaystyle SRC$ háromszög egybevágó az $\displaystyle RSF$ háromszöggel (az oldalaik páronként egyenlőek), így a területük egyenlő.

Hasonlóképpen az $\displaystyle AFS$ és az $\displaystyle SFR$, illetve az $\displaystyle FBR$ és az $\displaystyle RFS$ háromszögek is egybevágóak (az oldalaik páronként egyenlőek). Így az $\displaystyle ABC$ háromszög területe az $\displaystyle FBS$ háromszög területének a négyszerese, azaz $\displaystyle 4\cdot(4\cdot 4:2)=32~\mathrm{cm}^2$.

Statisztika:

146 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	86 versenyző.
5 pontot kapott:	12 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2018. novemberi matematika feladatai