A K. 604. feladat (2018. december)

K. 604. Adjunk meg öt különböző pozitív egész számot úgy, hogy közülük akárhányat kiválasztva és összeadva a számok összege minden választás esetén különböző legyen. Válasszuk meg ezt az öt számot úgy, hogy az öt szám közül a legnagyobb a lehető legkisebb legyen.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Például a \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 13\) megfelelő választás. Ekkor az egytagú és kéttagú összegek: \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 13\), \(\displaystyle 6+9=15\), \(\displaystyle 6+11=17\), \(\displaystyle 6+12=18\), \(\displaystyle 6+13=19\), \(\displaystyle 9+11=20\), \(\displaystyle 9+12=21\), \(\displaystyle 9+13=22\), \(\displaystyle 11+12=23\), \(\displaystyle 11+13=24\), \(\displaystyle 12+13=25\). A négy, illetve három tagból álló összegeket könnyen megkapjuk, ha \(\displaystyle 6+9+11+12+13=51\)-ből kivonjuk az egytagú, illetve a kéttagú összegeket: \(\displaystyle 45\), \(\displaystyle 42\), \(\displaystyle 40\), \(\displaystyle 39\), \(\displaystyle 38\); \(\displaystyle 36\), \(\displaystyle 34\), \(\displaystyle 33\), \(\displaystyle 32\), \(\displaystyle 31\), \(\displaystyle 30\), \(\displaystyle 29\), \(\displaystyle 28\), \(\displaystyle 27\), \(\displaystyle 26\). Végül, ha mind az öt számot összeadjuk, az összeg \(\displaystyle 51\). Látható, hogy minden összeg különböző.

Sajnos a feladat sokkal nehezebb, mint azt kitűzéskor gondoltuk. Így akik adtak egy olyan számötöst, amiben a legnagyobb szám a 13, és le is ellenőrizték, vagy megindokolták, hogy valóban minden összeg különböző, azok megkapták a maximális pontszámot.

Megjegyzés. 1. Annak bizonyítása, hogy a lehető legkisebb legnagyobb szám a \(\displaystyle 13\), sajnos túl nehéz. Számítógépes program segítségével ellenőrizve a legnagyobb szám nem lehet \(\displaystyle 13\)-nál kisebb.

2. Hogy miképpen lehetett ezt megtalálni, arra álljon itt Sebestyén Pál Botond (Budapest, Baár-Madas Ref. Gimn., 9. évf.) megoldásának megfelelő része.

"Legyen a legnagyobb szám \(\displaystyle n\). Mivel azt szeretnénk, hogy ez minél kisebb legyen, így az öt számnak ajánlott közel lennie egymáshoz (minél nagyobbak a különbségek, annál nagyobb lesz a legnagyobb szám a pozitivitás miatt).

Legyen így a második szám \(\displaystyle (n−1)\), a harmadik pedig \(\displaystyle (n−2)\).

Az \(\displaystyle (n−3)\)-at már nem választhatjuk ki (mert \(\displaystyle n+(n−3)=(n−1)+(n−2))\), legyen így a negyedik szám \(\displaystyle (n−4)\).

A következő szám nem lehet \(\displaystyle (n−5)\) (hiszen \(\displaystyle n+(n−5)=(n−1)+(n−4)\)), sem \(\displaystyle (n−6\)) (mert \(\displaystyle n+(n−6)=(n−2)+(n−4)\)), sem 1 (\(\displaystyle n=(n−1)+1\), sem \(\displaystyle 2\) (\(\displaystyle n=(n−2)+2\)), sem \(\displaystyle 3\) (\(\displaystyle (n−1)=(n−4)+3\)), sem \(\displaystyle 4\) (\(\displaystyle n=(n−4)+4\)), sem \(\displaystyle 5\) (\(\displaystyle n+(n−1)=(n−2)+(n−4)+5\)). Azaz az ötödik szám legfeljebb \(\displaystyle (n−7)\), illetve legalább \(\displaystyle 6\).

Mivel az a célunk, hogy \(\displaystyle n\) a lehető legkisebb legyen, így legyen \(\displaystyle (n−7)=6\). Ekkor az öt szám: \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 11\), \(\displaystyle 12\), \(\displaystyle 13\)."

Statisztika:

135 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Németh László Csaba, Sebestyén Pál Botond.
5 pontot kapott:	Héjja Márton, Kalocsai Zoltán, Kotán Imre Bence, Somogyi Dalma, Tarján Teréz.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	14 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai