A K. 605. feladat (2018. december)

K. 605. Kehelynek nevezünk három kiskockát, ha párosával egy-egy közös élük van (lásd az ábrát). Egységnyi élhosszúságú kiskockákból téglatesteket építettünk.

\(\displaystyle a)\) Hány kehely található egy \(\displaystyle 4\times4\times2\)-es téglatestben?

\(\displaystyle b)\) Hány kehely található egy \(\displaystyle 4\times4\times3\)-as téglatestben?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük azt a kiskockát, ami beleillik a kehelybe (mindhárom kockával lesz közös lapja), illetve azt a \(\displaystyle 2\times2\times2\)-es kockát, melyre a kehely kiegészíthető. Minden \(\displaystyle 2\times2\times2\)-es kockában 8 kehely van (a kocka minden egyes csúcsnál lévő kis kockája egy-egy ilyen kehelybe illő kis kocka).

a) A \(\displaystyle 4\times4\times2\)-es téglatest 9 darab \(\displaystyle 2\times2\times2\)-es kocka alakú részt tartalmaz (lásd az ábrát, ahol felülnézetben rajzoltuk be a \(\displaystyle 4\times4\times2-\)es téglatestbe a \(\displaystyle 2\times2\times2\)-es kocka lehetséges helyét), így \(\displaystyle 9\cdot8=72\) kehely van ebben a téglatestben.

b) A \(\displaystyle 4\times4\times3\)-as téglatest alsó \(\displaystyle 4\times4\times2\)-es része 9 darab \(\displaystyle 2\times2\times2\)-es kockát tartalmaz, akárcsak a felső \(\displaystyle 4\times4\times2\)-es része, így összesen \(\displaystyle 2\cdot72=144\) kehely van a téglatestben.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	51 versenyző.
5 pontot kapott:	6 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	13 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi matematika feladatai