Problem K. 619. (March 2019)
K. 619. What is the largest possible number of primes such that the sum of any three of them is also a prime?
(6 pont)
Deadline expired on April 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Egy darab hárommal osztható prímszám van, a 3. A többi prím 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad. Ha lenne bármelyik maradékú prímből legalább három darab, közülük hármat véve az összegük 3-mal osztható lenne, tehát nem lehet prím (mivel 3-nál nagyobb). Ha lenne mindhárom maradékú prímből legalább egy, akkor ezek közül három különböző maradékúnak az összege is 3-mal osztható lenne, tehát nem lehet prím (mivel 3-nál nagyobb). Így tehát legfeljebb kétféle maradékú prímek lehetnek és mindkettő fajtából legfeljebb két darab, vagyis összesen legfeljebb négy prím adható meg. Négy ilyen prím valóban megadható, például megfelelő a 13, 17, 23, 31. Az összegek: \(\displaystyle 13+17+23=53\), \(\displaystyle 13+17+31=61\), \(\displaystyle 13+23+31=67\), \(\displaystyle 17+23+31=71\) prímszámok.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019