A K. 629. feladat (2019. október)

K. 629. Hét kiskacsa slattyog a tó felé egymás mögött: Lópi, Hápi, Tápi, Kepi, Bipi, Pepi és Szipi. Minden nap ugyanabban a sorrendben szoktak menni, de most fordított sorrendben sorakoztak föl egymás mögött. A következőket tudjuk a jelenlegi sorrendjükről:

A Lópi előtt menő kacsák hatféle sorrendben rendeződhetnének egyes oszlopba.

Bipi előtt feleannyian mennek, mint mögötte.

Pepi és Tápi között egy híján kétszer annyi kacsa megy, mint Szepi és Hápi között.

Kepi mögött megy Hápi és Tápi is.

Milyen sorrendben szoktak haladni a kacsák a tóra?

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Lópi előtt 3 kacsa megy, mert 3 kacsa tud hatféle sorrendbe rendeződni, tehát Lópi a negyedik a sorban. Bipi előtt 2 kacsa megy, mögötte pedig 4, ezért Bipi a harmadik.

Szepi és Hápi között 0, 1, 2 vagy 3 kacsa van, mert ezen számok egy híján kétszerese nem lehet több ötnél. Ha Szepi és Hápi közvetlenül egymás mögött mennének, vagyis 0 kacsa lenne közöttük, akkor Pepi és Tápi között a 0-nál 1-gyel kevesebb kacsa menne, ami lehetetlen. Tehát Szepi és Hápi között legalább 1 kacsa van.

Nézzük a lehetséges elrendezéseket, figyelembe véve Bipi és Lópi megállapított helyzetét:

1. Szepi és Hápi között 1 kacsa van, Pepi és Tápi között 1 (mert ez 1 híján az 1 kétszerese). Szepi és Hápi elhelyezkedése csak kétféle lehet:

Látszik, hogy itt nem fér be Pepi és Tápi úgy, hogy egy kacsa legyen közöttük.

2. Szepi és Hápi között 2 kacsa van, Pepi és Tápi között 3 (mert ez 1 híján a 2 kétszerese). Szepi és Hápi elhelyezkedése itt is csak kétféle lehet:

Így sem fér be Pepi és Tápi úgy, hogy köztük pontosan 3 kacsa legyen.

3. Szepi és Hápi között 3 kacsa van, Pepi és Tápi között 5 (mert ez 1 híján a 3 kétszerese). Pepi és Tápi elhelyezkedése itt csak egyféle lehet, figyelembe véve, hogy Tápi nem lehet első, mert Kepi mögött halad:

Így viszont Szepi és Hápi is csak egyféleképpen helyezhető el, figyelembe véve, hogy Hápi nem lehet második, mert Kepi mögött halad:

És Kepi bekerül a hiányzó helyre.

Tehát a kacsák eredeti sorrendje a sor elejétől a vége felé haladva (hiszen a kapott sorrend fordítottja a szokásos menetrendjük): Tápi, Hápi, Kepi, Lópi, Bipi, Szepi, Pepi.

Statisztika:

243 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	64 versenyző.
5 pontot kapott:	44 versenyző.
4 pontot kapott:	81 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	17 dolgozat.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai