 |
A K. 630. feladat (2019. október) |
K. 630. Egy parti végén, mikor már mindenki indul hazafelé, a nők a nőkkel, a férfiak a férfiakkal kezet fognak. A búcsúzkodás közben betoppan a házigazda egyik barátja, aki mindazokkal kezet fog (férfiakkal és nőkkel is), akiket ismer. Összesen 83 kézfogás történt. Tudjuk, hogy a partin résztvevő férfiak közül 5-nek ott volt a felesége is. Hány embert ismerhet a házigazda betoppanó barátja?
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az alábbi táblázatban összefoglaljuk egy adott társaságban lezajló kézfogások számát (ahol mindenki mindenkivel pontosan egyszer fog kezet) a társaság létszámának függvényében. Mivel 5 házaspár ott volt a partin, ezért legalább 5 férfi és 5 nő is volt a résztvevők között.
| Létszám | Kézfogások száma | Létszám | Kézfogások száma |
| 5 | 10 | 10 | 45 |
| 6 | 15 | 11 | 55 |
| 7 | 21 | 12 | 66 |
| 8 | 28 | 13 | 78 |
| 9 | 36 | 14 | 91 |
A táblázat alapján látható, hogy sem a férfiak, sem a nők önmagukban nem lehetnek 14-en vagy többen. A táblázatból olyan számokat kell keresnünk a nők és férfiak létszámára, melyek összesen legfeljebb 83 kézfogást eredményeznek, és a 83-ig megmaradó kézfogások száma nem több, mint a két csoport együttes létszáma. (A nők és férfiak létszáma a végeredmény szempontjából felcserélhető, így elég csak azt az esetet vizsgálni, amikor legalább annyi férfi van, mint nő.)
Az alábbi táblázatban ezeket a lehetőségeket foglaljuk össze:
| Nők | Férfiak | Női kézfogások | Férfi kézfogások | Szomszéd kézfogásai | Lehetséges-e? |
| 5 | 12 | 10 | 66 | 7 | igen |
| 5 | \(\displaystyle \leq\)11 | 10 | \(\displaystyle \leq\)55 | \(\displaystyle \geq\)18 | nem |
| 6 | 12 | 15 | 66 | 2 | igen |
| 6 | 11 | 15 | 55 | 13 | igen |
| 6 | \(\displaystyle \leq\)10 | 15 | \(\displaystyle \leq\)45 | \(\displaystyle \geq\)23 | nem |
| 7 | 11 | 21 | 55 | 7 | igen |
| 7 | 10 | 21 | 45 | 17 | igen |
| 7 | \(\displaystyle \leq\)9 | 21 | \(\displaystyle \leq\)36 | \(\displaystyle \geq\)23 | nem |
| 8 | 11 | 28 | 55 | 0 | nem |
| 8 | 10 | 28 | 45 | 10 | igen |
| 8 | \(\displaystyle \leq\)9 | 28 | \(\displaystyle \leq\)36 | \(\displaystyle \geq\)19 | nem |
| 9 | 10 | 36 | 45 | 2 | igen |
| 9 | 9 | 36 | 36 | 11 | igen |
A 8+11 eset azért nem lehetséges, mert a betoppanó barát legalább egy embert ismer (a házigazdát). Tehát a betoppanó barátnak 2, 7, 10, 11, 13 vagy 17 ismerőse lehet a vendégek között.
Statisztika:
145 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 51 versenyző. 5 pontot kapott: 19 versenyző. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 17 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 7 dolgozat.
A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai