 |
A K. 634. feladat (2019. november) |
K. 634. Egy négyzetrácsos papíron egységoldalú négyzetek vannak. Rácsvonalak mentén kijelölünk egy téglalapot. Szeretnénk egy olyan zárt töröttvonalat rajzolni a téglalapba a rácsvonalakon haladva, hogy az a téglalapból ne lépjen ki, de az összes olyan rácsponton pontosan egyszer menjen át, amely a téglalap belsejébe vagy a határára esik. Meg tudjuk-e rajzolni a kívánt töröttvonalat, ha a téglalap mérete:
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 2019\times2020\) egység;
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 2018\times2020\) egység?
Adjuk meg a lehetséges töröttvonalak hosszát is.
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a kívánt módon rajzoljuk a töröttvonalat, akkor ennek hossza páros lesz. Ugyanis a téglalap egyik szemközti oldalpárjával párhuzamosan mindkét irányban pontosan ugyanannyit kell haladnunk, hogy visszaérjünk a kezdőpontba, ugyanígy a másik oldalpárral párhuzamos haladásra is ez érvényes. Ha a töröttvonal minden rácsponton pontosan egyszer megy át, akkor hossza éppen a rácspontok számával egyezik meg (mert minden rácspontból indulva pontosan egyszer rajzolunk egy egységnyi hosszúságú szakaszt, míg vissza nem érünk a kezdőpontba). Az a) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2020\cdot2021\), a töröttvonal megrajzolása az alábbi ábrán rajzolt töröttvonallal analóg módon lehetséges (a \(\displaystyle 2020\) egység hosszú oldal a vízszintes oldalnak felel meg, ezzel párhuzamosan haladnak a hosszú vonalak):
A b) esetben a rácspontok száma \(\displaystyle 2019\cdot2021\), ami páratlan, ezért a töröttvonal megrajzolása nem lehetséges.
Statisztika:
134 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Abonyi Bence, Besze Zsolt, Deme Erik, Gardev Dániel, Gere Gábor, Hajós Balázs, Hartmann Botond, Havasi Marcell Milán, Képiró Árpád Zsolt, Könye Nátán, Kurucz Márton, Mészáros Anna Veronika, Nagy Mihály Gyula, Nemeskéri Dániel, Pekk Márton, Pulics Martin, Sipos Dorka, Somlai Dóra, Vankó Lóránt Albert, Varga 326 Sebestény, Waldhauser Miklós, Welther Károly. 5 pontot kapott: 34 versenyző. 4 pontot kapott: 16 versenyző. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 17 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 9 dolgozat.
A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai