A K. 635. feladat (2019. november)

K. 635. Vegyünk egy konkáv négyszöget, és rajzoljuk meg a négyszög belsejében haladó átlóját. Az átló két háromszögre vágja a négyszöget. Igazoljuk, hogy pontosan akkor egyenlő a két háromszög területe, ha ezen átló egyenese felezi a másik átlót.

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát:

Ha a $\displaystyle BD$ átló két egyforma területű háromszögre vágja a négyszöget, akkor ezen háromszögek $\displaystyle BD$-hez tartozó magasságai megegyeznek. Ez azt jelenti, hogy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ csúcson keresztül $\displaystyle BD$-vel húzott párhuzamosok középpárhuzamosa $\displaystyle BD$.

Mivel a középpárhuzamos bármely olyan szakaszt felez, mely a párhuzamosok egy-egy pontját köti össze, ezért a $\displaystyle BD$ egyenes felezi az $\displaystyle AC$ szakaszt.

Ez az állítás megfordítva is igaz: ha $\displaystyle BD$ átmegy $\displaystyle AC$ felezőpontján, akkor a két párhuzamos egyenes középpárhuzamosa, tehát egyenlő távolságra van a két párhuzamostól. Emiatt a két háromszög $\displaystyle BD$-hez tartozó magassága megegyezik, vagyis a két háromszög területe is egyenlő.

2. megoldás. Deme Erik (Budapest, Németh László Gimn., 9. o. t.)

Statisztika:

142 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Cynolter Dorottya, Deme Erik, Hajós Balázs, Kádár 1115 Júlia, Kaltenecker Balázs Bence, Kedves Benedek János, Kiss-Beck Tamara, Slézia Dávid, Vankó Lóránt Albert, Varga 326 Sebestény, Viczián Dániel, Waldhauser Miklós.
5 pontot kapott:	Árok Anna, Csintalan Gergely, Somlai Dóra, Tóth Babett.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	43 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	39 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai