A K. 641. feladat (2019. december)

K. 641. Egy konvex négyszög belsejében felveszünk valamennyi pontot. A felvett pontokat egymással és a négyszög csúcsaival úgy kötjük össze egyenes szakaszokkal, hogy az összekötő szakaszoknak a négyszög belsejében ne legyen metszéspontja, és a szakaszok a négyszöget kis háromszögekre és ötszögekre bontsák. (Minden belső pont valamely háromszög vagy ötszög csúcsa.) Előfordulhat-e, hogy a négyszöget pontosan 2019 síkidomra bontottuk fel?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha összeadjuk a háromszögek és ötszögek szögeit, akkor 180 fok páros számú többszörösét kapjuk. Ez azért van, mert ez a szögösszeg a négyszög szögeinek, és egy-egy belső pontot körülvevő szögeknek az összegéből áll. Minden belső pontnál a keletkező szögek összege 360 fok, a négyszög szögeinek összege szintén, tehát a kapott összeg 360 foknak többszöröse. Ha a háromszögek és ötszögek száma összesen 2019, akkor az egyikből páros, a másikból páratlan darab van. A háromszög szögeinek összege 180 fok, az ötszög szögeinek összege \(\displaystyle 3\cdot180\) fok. Ha páros számú háromszög lett, akkor ezek szögeinek összege 180 fok páros számú többszöröse, az ötszögeké pedig páratlan, ez viszont nem lehetséges, mert ekkor az összes szög összege 180 foknak páratlan számú többszöröse. Ha páratlan számú háromszög van, akkor szintén azt kapjuk, hogy az összes szög összege 180 foknak páratlan számú többszöröse. Tehát nem lehet 2019 a kapott ötszögek és háromszögek együttes száma.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Besze Zsolt, Deme Erik, Radzik Réka, Sipos Dorka, Slézia Dávid.
5 pontot kapott:	Ágoston Barbara, Hajós Balázs, Nagy Mihály Gyula, Tóth Babett.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	53 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai