A K. 642. feladat (2019. december)

K. 642. Adjuk meg az összes pozitív egész \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) számot, melyekre teljesül, hogy \(\displaystyle x^2-y^2=2019\).

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Alakítsuk szorzattá a bal oldali algebrai kifejezést! \(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). A 2019 prímtényezős felbontása \(\displaystyle 2019 = 3\cdot673\). Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív egész számok, ezért \(\displaystyle x+y\) mindenképpen pozitív, így \(\displaystyle x-y\) is az. Mivel \(\displaystyle x-y < x+y\), ezért csak az \(\displaystyle x-y=1\) és \(\displaystyle x+y=2019\), illetve az \(\displaystyle x-y=3\) és \(\displaystyle x+y=673\) értékek jöhetnek szóba. A két egyenletet összeadva, illetve a különbségüket véve kapjuk \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét. Az első egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 2020/2=1010\) és \(\displaystyle y = 2018/2=1009\), a második egyenletrendszerből \(\displaystyle x = 676/2=338\) és \(\displaystyle y = 670/2=335\) értéket kapjuk.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bánfi Barnabás, Deák Botond, Deme Erik, Fazekas István, Fodor Ágoston, Hajdu Erik, Hajós Balázs, Havasi Marcell Milán, Herendi Réka, Kedves Benedek János, Mészáros Anna Veronika, Murai Dóra Eszter, Németi Niké, Pekk Márton, Radzik Réka, Richolm Lili, Slézia Dávid.
5 pontot kapott:	88 versenyző.
4 pontot kapott:	21 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	11 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai