A K. 643. feladat (2019. december)

K. 643. Az

$\displaystyle \frac{a6bc}{de3fg}$

törtben a 0 kivételével minden számjegy pontosan egyszer szerepel. Mit jelölhetnek az egyes betűk, ha a tört értéke $\displaystyle \frac12$?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a tört értéke $\displaystyle 1/2$, ezért $\displaystyle a6bc \cdot 2 = de3fg$. A $\displaystyle d$ csak $\displaystyle 1$ lehet, mert $\displaystyle a6bc$ legnagyobb értéke $\displaystyle 9687$ lehet, amelynek kétszerese még nem éri el a $\displaystyle 20\,000$-et. Ahhoz pedig, hogy ez a kétszeres érték $\displaystyle 10\,000$-nél nagyobb legyen, $\displaystyle a > 4$ szükséges (hiszen $\displaystyle 2\cdot4698<10\,000$). A szorzás elvégzésekor a szorzatban található $\displaystyle 3$-as a $\displaystyle 6 \cdot 2$-ből származik, tehát előtte volt átvitel (azaz $\displaystyle f > 4$), valamint $\displaystyle 2a + 1 = 10d + e$, mert a $\displaystyle 6 \cdot 2 = 12$ miatt a $\displaystyle 2a$ szorzásnál is volt átvitel ($\displaystyle 1$). Emiatt $\displaystyle a$ nem lehet $\displaystyle 5$, mert akkor $\displaystyle e = d = 1$ lenne, és az már foglalt; és $\displaystyle a = 9$ sem lehet, mert akkor $\displaystyle e = a = 9$ lenne. Mivel a $\displaystyle 6$ is foglalat, ezért $\displaystyle a = 7$ vagy $\displaystyle a = 8$.

Nézzük még meg az utolsó számjegyeket: $\displaystyle c$ nem lehet $\displaystyle 1$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 6$, mert ezek már foglaltak, és nyilván nem $\displaystyle 5$ (mert $\displaystyle 0$ nincs a számok között). $\displaystyle c = 8$ sem lehet, mert a $\displaystyle g$ nem lehet $\displaystyle 6$, ezért csak $\displaystyle c = 2$, $\displaystyle g = 4$; $\displaystyle c = 4$, $\displaystyle g = 8$; $\displaystyle c = 7$, $\displaystyle g = 4$, és a $\displaystyle c = 9$, $\displaystyle g = 8$ párosok jöhetnek számításba.

Ha $\displaystyle a = 8$, akkor $\displaystyle e = 7$, valamint $\displaystyle c = 2$, $\displaystyle g = 4$, de ekkor $\displaystyle b$-re és $\displaystyle f$-re az $\displaystyle 5$ és a $\displaystyle 9$ marad, ami nem lehet.

Ha $\displaystyle a = 7$, akkor $\displaystyle e = 5$.

Ebben az esetben a $\displaystyle c = 2$, $\displaystyle g = 4$, $\displaystyle b = 9$, $\displaystyle f = 8$ jó megoldást ad: $\displaystyle \frac{7692}{15384}=\frac12$.

Ha $\displaystyle c = 4$, $\displaystyle g = 8$, akkor $\displaystyle b$-re és $\displaystyle f$-re a $\displaystyle 2$ és a $\displaystyle 9$ marad, ami nem ad megoldást.

Ha $\displaystyle c = 9$, $\displaystyle g = 8$, akkor $\displaystyle b$-re és $\displaystyle f$-re a $\displaystyle 2$ és a $\displaystyle 4$ marad, ami nem lehet.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	57 versenyző.
5 pontot kapott:	8 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai