A K. 643. feladat (2019. december)

K. 643. Az

\(\displaystyle \frac{a6bc}{de3fg} \)

törtben a 0 kivételével minden számjegy pontosan egyszer szerepel. Mit jelölhetnek az egyes betűk, ha a tört értéke \(\displaystyle \frac12\)?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel a tört értéke \(\displaystyle 1/2\), ezért \(\displaystyle a6bc \cdot 2 = de3fg\). A \(\displaystyle d\) csak \(\displaystyle 1\) lehet, mert \(\displaystyle a6bc\) legnagyobb értéke \(\displaystyle 9687\) lehet, amelynek kétszerese még nem éri el a \(\displaystyle 20\,000\)-et. Ahhoz pedig, hogy ez a kétszeres érték \(\displaystyle 10\,000\)-nél nagyobb legyen, \(\displaystyle a > 4\) szükséges (hiszen \(\displaystyle 2\cdot4698<10\,000\)). A szorzás elvégzésekor a szorzatban található \(\displaystyle 3\)-as a \(\displaystyle 6 \cdot 2\)-ből származik, tehát előtte volt átvitel (azaz \(\displaystyle f > 4\)), valamint \(\displaystyle 2a + 1 = 10d + e\), mert a \(\displaystyle 6 \cdot 2 = 12\) miatt a \(\displaystyle 2a\) szorzásnál is volt átvitel (\(\displaystyle 1\)). Emiatt \(\displaystyle a\) nem lehet \(\displaystyle 5\), mert akkor \(\displaystyle e = d = 1\) lenne, és az már foglalt; és \(\displaystyle a = 9\) sem lehet, mert akkor \(\displaystyle e = a = 9\) lenne. Mivel a \(\displaystyle 6\) is foglalat, ezért \(\displaystyle a = 7\) vagy \(\displaystyle a = 8\).

Nézzük még meg az utolsó számjegyeket: \(\displaystyle c\) nem lehet \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 6\), mert ezek már foglaltak, és nyilván nem \(\displaystyle 5\) (mert \(\displaystyle 0\) nincs a számok között). \(\displaystyle c = 8\) sem lehet, mert a \(\displaystyle g\) nem lehet \(\displaystyle 6\), ezért csak \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\); \(\displaystyle c = 4\), \(\displaystyle g = 8\); \(\displaystyle c = 7\), \(\displaystyle g = 4\), és a \(\displaystyle c = 9\), \(\displaystyle g = 8\) párosok jöhetnek számításba.

Ha \(\displaystyle a = 8\), akkor \(\displaystyle e = 7\), valamint \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\), de ekkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re az \(\displaystyle 5\) és a \(\displaystyle 9\) marad, ami nem lehet.

Ha \(\displaystyle a = 7\), akkor \(\displaystyle e = 5\).

Ebben az esetben a \(\displaystyle c = 2\), \(\displaystyle g = 4\), \(\displaystyle b = 9\), \(\displaystyle f = 8\) jó megoldást ad: \(\displaystyle \frac{7692}{15384}=\frac12\).

Ha \(\displaystyle c = 4\), \(\displaystyle g = 8\), akkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 9\) marad, ami nem ad megoldást.

Ha \(\displaystyle c = 9\), \(\displaystyle g = 8\), akkor \(\displaystyle b\)-re és \(\displaystyle f\)-re a \(\displaystyle 2\) és a \(\displaystyle 4\) marad, ami nem lehet.

Statisztika:

119 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	57 versenyző.
5 pontot kapott:	8 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai