A K. 645. feladat (2020. január)

K. 645. Milyen maradékot kapunk, ha az \(\displaystyle 1+4+7+\ldots+2020\) összeget 8-cal elosztjuk?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az összegben szereplő tagok darabszámát határozzuk meg először. Minden szám \(\displaystyle 3k-2\) alakú, ahol \(\displaystyle k\)=1, 2, 3, 4, ..., 674, tehát 674 darab számot adunk össze. Egy összeg 8-cal való osztásának maradékát megkaphatjuk úgy, hogy az összegben szereplő tagokból leválasztjuk a 8-cal osztható részt, és csak a maradékokat adjuk össze, és ennek az összegnek vizsgáljuk a 8-as maradékát.

Az 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, stb. számok rendre 1, 4, 7, 2, 5, 0, 3, 6; 1, 4, ... maradékot adnak 8-cal osztva. Megfigyelhető, hogy az első 8 szám ismétlődik ebben a sorozatban. Ezek összege 28, ami 8-cal osztva 4-et ad maradékul. Tehát ha két ilyen 8-as sorozatot írunk egymás után, és az így kapott 16 szám ismétlődését vizsgáljuk, akkor ezek összege 8-cal osztható. 674 : 16 = 42, a maradék 2, tehát a 16-os csoportokon felül még 2 számot kell figyelembe vennünk. A két maradék: 1+4 = 5.

Tehát a vizsgált összeg 8-cal osztva 5-öt ad maradékul.

Statisztika:

157 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	76 versenyző.
5 pontot kapott:	31 versenyző.
4 pontot kapott:	19 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	6 dolgozat.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai