A K. 646. feladat (2020. január)

K. 646. Van három gépünk, amelyek két-két bemenettel, és egy-egy kimenettel rendelkeznek. A gépek a bemeneteken keresztül megadott számokkal egy meghatározott műveletsort végeznek el, és ennek eredménye jelenik meg a kimeneten. A három gép tehát az ábra szerint néz ki.

Az A gép kimenetén $\displaystyle x\cdot y$ jelenik meg, a B gép kimenetén $\displaystyle x^2+y$, a C gép kimenetén pedig $\displaystyle 5\cdot x+3\cdot y$ ($\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ jelöli az egyik, illetve a másik bemeneten beadott számokat). Összekötjük az A, B és C gépeket olyan módon, hogy az egyik kiválasztott gép egy-egy bemenetére a másik két gép kimenetét kötjük rá. Mennyi lesz az utolsó gépből kijövő lehető legnagyobb eredmény, ha a két első gépbe egyaránt az $\displaystyle x=4$ és $\displaystyle y=7$ értékeket tápláljuk be?

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Elvileg hat lehetőség van a gépek összekötésére, de ebből kettő azonos eredményt ad. A lehetőségek: 1) A bemeneteire kötjük B-t és C-t (ez sorrendfüggetlen a művelet szimmetriája miatt), 2) B bemeneteire kötjük A-t és C-t (két lehetőség), valamint 3) C bemeneteire kötjük A-t és B-t (ez is két lehetőség).

Az öt lehetőséget megvizsgálva megkapjuk a legnagyobb lehetséges kimeneteli értéket.

A betáplált számok nagyságát a kimenettel összefüggésben figyelembe véve a két-két esetből mindig az egyikben nyilvánvalóan nagyobb kimeneti érték lesz, és elég csak ezt vizsgálni.

Az adott $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ értékek esetén a három gép (A, B és C) kimeneti értéke: $\displaystyle xy=28$; $\displaystyle x^2+y=23$ és $\displaystyle 5x+3y=41$.

Az 1) lehetőségben a kimeneti érték: $\displaystyle 23\cdot41=943$; a 2) lehetőségben a kétfajta gép kimeneti értéke: $\displaystyle 28^2+41<41^2+28=1709$; végül a 3) lehetőségben a kimeneti értékek: $\displaystyle 5\cdot23+3\cdot28<5\cdot28+3\cdot23=209$.

Tehát a lehető legnagyobb eredmény, amit kaphatunk az $\displaystyle 1709$.

Statisztika:

145 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	102 versenyző.
5 pontot kapott:	3 versenyző.
4 pontot kapott:	6 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai