Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A K. 65. feladat (2005. december)

K. 65. A valós x számra x+\frac{1}{x}=5. Határozzuk meg az x^2+\frac{1}{x^2} és az x^3+\frac{1}{x^3} pontos értékét.

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Használjuk fel, hogy \left(x+{1\over x}\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot{1\over x}+{1\over x^2}=x^2+{1\over x^2}+2. Ebből adódik, hogy x^2+{1\over x^2}=\left(x+{1\over x}\right)^2-2=5^2-2=23.

Használjuk fel, hogy \left(x+{1\over x}\right)^3=x^3+3\cdot x^2\cdot{1\over x}+3\cdot x\cdot{1\over x^2}+{1\over x^3}=

=x^3+3x+{3\over x}+{1\over x^3}=x^3+{1\over x^3}+3\cdot\left(x+{1\over x}\right).

Ebből adódik, hogy x^3+{1\over x^3}=\left(x+{1\over x}\right)^3-3\cdot\left(x+{1\over x}\right)=5^3-3\cdot5=110.

Statisztika:

198 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:151 versenyző.
5 pontot kapott:6 versenyző.
4 pontot kapott:14 versenyző.
3 pontot kapott:7 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai