Problem K. 651. (February 2020)

K. 651. For the areas marked in the figure, \(\displaystyle T_1 : T_2 : T_3 = 2:7:3\). What are the ratios of the lengths \(\displaystyle x\) to \(\displaystyle y\), and \(\displaystyle u\) to \(\displaystyle v\)?

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle T_1 : T_2 : T_3 = 2:7:3\), ezért legyen \(\displaystyle T_1 =2a\), \(\displaystyle T_2 =7a\), \(\displaystyle T_3 = 3a\). Rajzoljunk be két párhuzamos szakaszt az ábrán látható módon. A keletkező háromszögek területe megegyezik \(\displaystyle T_1\)-gyel, illetve \(\displaystyle T_3\)-mal, tehát \(\displaystyle 2a\)-val és \(\displaystyle 3a\)-val. A fennmaradó téglalap területe így \(\displaystyle (2a+7a+3a)-(2(2a+3a)=12a-10a=2a\).

A szaggatott vonalak által meghatározott téglalapok területének aránya éppen megadja \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\), illetve \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle v\) arányát:

\(\displaystyle x : y = (2\cdot2a):(12a-2\cdot2a)=4a : 8a = 4:8 = 1:2;\;\; u : v = (2\cdot3a):(12a-2\cdot3a)=6a : 6a = 1:1.\)

Statistics:

117 students sent a solution.
6 points:	82 students.
5 points:	14 students.
4 points:	5 students.
3 points:	1 student.
2 points:	4 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020