A K. 659. feladat (2020. szeptember)

K. 659. Hány olyan különböző négyszög van, amelynek csúcsai egy adott szabályos kilencszög csúcsai közül valók és a négyszög a belsejében tartalmazza a kilencszög középpontját? (Az egybevágó négyszögeket nem tekintjük különbözőnek.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A négyszögnek van két olyan szomszédos csúcsa, melyek legalább harmadszomszédosak (legalább két csúcs van közöttük), mert ha legfeljebb másodszomszédos csúcsok lennének, akkor az eredeti sokszögnek legfeljebb nyolc csúcsa lehetne, de kilenc van.

Mivel a négyszög tartalmazza a kilencszög középpontját, így (egyik) leghosszabb oldala két olyan csúcsot köt össze, melyek „negyedszomszédos” csúcsok (három csúcs van közöttük a kilencszög kerületén), vagy harmadszomszédos csúcsok. (Másodszomszédosak nem lehetnek, mert \(\displaystyle 4\cdot2<9\).)

Ha van két negyedszomszédos csúcs, akkor a következő lehetőségek adódnak (rögzítve a negyedszomszédos csúcsokat):

Ezek közül az 1. és a 6. illetve a 2. és az 5. egybevágók.

Ha nincs negyedszomszédos csúcs, akkor van harmadszomszédos. A fent megtalált eseteket nem tekintve a következő lehetőségek maradnak (rögzítve a harmadszomszédos csúcsokat):

Itt az 1. és a 3. eset egybevágó egymással.

Összesen 4+3=7 különböző ilyen négyszög van.

Statisztika:

129 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Árvai Benedek, Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Barczikay Eszter, Barta Veronika, Bartus Nikolett, Bodzay Barnabás, Buday Noémi, Dancsák Dénes, Ecsédi Dániel, Érdi Ferenc Vince, Farkas Zsófia, Gaspari Márton Samu, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Heim Flóra, Horváth 204 Lóránt , Illés Bence, Jármai Roland, Jenei Ákos Zoltán, Kéki Edit, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kovács Levente, Kuba Nikoletta, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Markovics Áron, Mayer Krisztián, Mihalik Sára, Mód Péter Tamás, Molnár Kristóf, Őszi Nóra, Simon Géza, Szalai András Dominik, Szeibert Dominik, Takács Janka, Tarján Bernát, Telkes Ágota, Töreczki Gábor, Vanyó Gréta, Várhegyi Hajnal Eszter.
5 pontot kapott:	Bánrévi Nóra, Bodnár Botond, Duan Jiayi, Hanuska Gergely Zsolt, Lajos Luca, Roppantó Dorka, Tatár Bálint.
4 pontot kapott:	10 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	48 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai