A K. 661. feladat (2020. szeptember)

K. 661. Az \(\displaystyle ABCDEFGH\) szabályos nyolcszög 2 egység hosszú \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle GH\) oldalára a \(\displaystyle BCIM\) és a \(\displaystyle GHNP\) négyzetet rajzoljuk befelé. Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle N\) és \(\displaystyle M\) pontok egybeesnek.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos nyolcszög egy belső szöge \(\displaystyle 135^{\circ}\). Mivel \(\displaystyle ABM\angle = 135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}=180^{\circ}-135^{\circ}\), ezért \(\displaystyle AH\) és \(\displaystyle BM\) párhuzamosak. Az \(\displaystyle ABMH\) négyszögnek van két párhuzamos és egyenlő hosszú oldala, ezért az \(\displaystyle ABMH\) négyszög paralelogramma. Mivel \(\displaystyle AH = AB = BM = 2\), ezért \(\displaystyle HM = 2\). Mivel az \(\displaystyle ABMH\) paralelogramma minden oldala egyenlő, ezért rombusz, így \(\displaystyle AHM\angle=45^{\circ}\), ahonnan \(\displaystyle GHM\angle= 135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}\).

Tehát a \(\displaystyle GH\) és \(\displaystyle HM\) szakaszok egyenlő hosszúak és derékszöget zárnak be, vagyis \(\displaystyle M\) megegyezik a \(\displaystyle GHNP\) négyzet \(\displaystyle N\) csúcsával. Az állítást beláttuk.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	79 versenyző.
5 pontot kapott:	10 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai