A K. 661. feladat (2020. szeptember)

K. 661. Az $\displaystyle ABCDEFGH$ szabályos nyolcszög 2 egység hosszú $\displaystyle BC$ és $\displaystyle GH$ oldalára a $\displaystyle BCIM$ és a $\displaystyle GHNP$ négyzetet rajzoljuk befelé. Igazoljuk, hogy az $\displaystyle N$ és $\displaystyle M$ pontok egybeesnek.

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos nyolcszög egy belső szöge $\displaystyle 135^{\circ}$. Mivel $\displaystyle ABM\angle = 135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}=180^{\circ}-135^{\circ}$, ezért $\displaystyle AH$ és $\displaystyle BM$ párhuzamosak. Az $\displaystyle ABMH$ négyszögnek van két párhuzamos és egyenlő hosszú oldala, ezért az $\displaystyle ABMH$ négyszög paralelogramma. Mivel $\displaystyle AH = AB = BM = 2$, ezért $\displaystyle HM = 2$. Mivel az $\displaystyle ABMH$ paralelogramma minden oldala egyenlő, ezért rombusz, így $\displaystyle AHM\angle=45^{\circ}$, ahonnan $\displaystyle GHM\angle= 135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$.

Tehát a $\displaystyle GH$ és $\displaystyle HM$ szakaszok egyenlő hosszúak és derékszöget zárnak be, vagyis $\displaystyle M$ megegyezik a $\displaystyle GHNP$ négyzet $\displaystyle N$ csúcsával. Az állítást beláttuk.

Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	79 versenyző.
5 pontot kapott:	10 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2020. szeptemberi matematika feladatai