 |
A K. 664. feladat (2020. október) |
K. 664. Van hat érménk, melyek közül négy darab 100 grammos, kettő pedig 99 grammos. Rendelkezésünkre áll egy kétkarú mérleg. Legalább hány mérésre van szükségünk ahhoz, hogy megtaláljuk az egyik könnyebb érmét?
(6 pont)
A beküldési határidő 2020. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Két mérés elegendő. Mérjünk meg két-két érmét! (Jelölje a mért érméket A, B és C, D).
Ha lebillen és pl. AB a könnyebb oldal, akkor egy vagy két könnyebb érme van ott, és C, illetve D biztosan 100 grammos. Mérjük meg A-t C-vel. Ebből a mérésből kiderül, hogy A könnyebb-e, ha igen, kész vagyunk, A megfelelő, ha nem, akkor pedig B-t kerestük.
Ha nem billen le, az kétféleképpen lehetséges: mindkét serpenyőben van egy-egy 99 grammos érme, vagy négy darab 100 grammos érme van a mérlegen. Tehát E és F azonos súlyú. Mérjük meg A-t E-vel!
Ha egyensúlyban van, akkor csak az lehetséges, hogy E 100 grammos és így A is az, és B az egyik könnyebb érme.
Ha lebillen, és A a könnyebb, akkor A-t kerestük.
Ha lebillen, és E a könnyebb, akkor E-t kerestük.
Ennél kevesebb, tehát egy méréssel nem lehet megtudni biztosan, melyik az egyik 99 grammos érme. Nyilván csak olyan mérésnek van értelme, amelyben a két serpenyőbe azonos darab érmét teszünk.
Ha egy-egy érmét teszünk fel és egyensúlyban van, akkor nem derül ki: lehet mindkettő 99 grammos, de akár mindkettő 100 grammos is.
Ha két-két érmét teszünk fel és egyensúlyban van, akkor sem derül ki. Lehet mind a négy 100 grammos, de az is lehet, hogy mindkét oldalon van egy-egy 99 grammos, de, hogy melyik az, azt nem fogjuk tudni.
Ha három-három érmét teszünk fel és egyensúlyban van (vagy lebillen), akkor sem derül ki, melyik a 99 grammos. Lehet bármelyik, amelyik a nem nehezebb oldalon van.
Tehát legalább két mérésre van szükségünk ahhoz, hogy megtaláljuk az egyik könnyebb érmét.
Statisztika:
172 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: 102 versenyző. 5 pontot kapott: 11 versenyző. 4 pontot kapott: 6 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 18 versenyző. 0 pontot kapott: 10 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2020. októberi matematika feladatai