A K. 68. feladat (2006. január)

K. 68. Egy paralelogramma belsejében vegyünk fel egy pontot, majd kössük össze a paralelogramma csúcsaival. Mutassuk meg, hogy az így kapott négy szakaszból szerkeszthető egy olyan négyszög, melynek csúcsai a paralelogramma oldalain vannak.

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás:

Használjuk az ábra jelöléseit! Fektessünk a P pontra a paralelogramma egyik oldalával párhuzamos egyenest, ez a paralelogramma megfelelő oldalait az X és Y pontokban metszi. Toljuk el az ABXY paralelogrammát AD-vel párhuzamosan úgy, hogy az A pont D-be kerüljön. Az eltolás során az X, P, Y, B pontok rendre az X', P', Y', C pontokba kerülnek át. Mivel AX=DX', ezért AD=XX'; továbbá AB=XY=DC=X'Y'. Ezek szerint a kapott XYY'X' paralelogramma az ABCD paralelogrammával egybevágó, hiszen a megfelelő oldalak párhuzamosak és egyenlők. Ebben a paralelogrammában a PCP'D négyszög éppen a PA, PB, PC, PD szakaszokból szerkesztett négyszög, melynek csúcsai a paralelogramma oldalain vannak. Ha az XYY'X' paralelogrammát visszatoljuk az ABCD paralelogrammába, akkor a PCP'D négyszög eltoltja éppen a keresett szerkesztendő négyszög.

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	62 versenyző.
5 pontot kapott:	18 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	11 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai