A K. 682. feladat (2021. január)

K. 682. Háromféle különböző számkártyánk van, mindegyikből elegendően sok. A számkártyákon egy-egy számjegy van. Ezekből a számkártyákból elkészítjük az összes lehetséges különböző pozitív négyjegyű számot. Ezeknek a négyjegyű számoknak az összege \(\displaystyle 689\,931\). Melyik az a három számjegy, ami a számkártyákon szerepel?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás. I. Ha a számjegyek között nem szerepel a 0.
(1) Ha mind a háromféle számkártyát felhasználjuk (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c)\), akkor valamelyik számjegy kétszer szerepel.

Ha az \(\displaystyle a\)-ból veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle \overline {aabc} +\overline {aacb} +\overline {abac} +\overline {acab} +\overline {abca} +\overline {acba} +\overline {baac} +\overline {caab} +\overline {baca} +\overline {caba} +\overline {bcaa} +\overline {cbaa} =\)

\(\displaystyle =6666a+3333b+3333c. \)

Hasonlóan, ha \(\displaystyle b\)-ből veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle 6666b+3333a+3333c\), ha pedig a c-ből veszünk kettőt, akkor \(\displaystyle 6666c+3333a+3333b\) az összeg. Összesen tehát 13332\(\displaystyle a+\)13332\(\displaystyle b+\)13332\(\displaystyle c\) az ilyen számok összege.

(2) Ha csak két számkártyát használunk fel. Ezt 2-2 vagy 3-1 (vagy 1-3) eloszlásban tehetjük meg.

Ha például 2 db \(\displaystyle a\)-t és 2 db \(\displaystyle b\)-t használunk, akkor az elkészíthető számok összege:

\(\displaystyle \overline {aabb} +\overline {abab} +\overline {abba} +\overline {bbaa} +\overline {baba} +\overline {baab} =3333a+3333b\).

Hasonlóan a többi ilyen esetben \(\displaystyle 3333a+3333c\), illetve \(\displaystyle 3333b+3333c\) az összeg, azaz mindösszesen az ilyen számok összege \(\displaystyle 6666a+6666b+6666c\).

Ha például 3 db \(\displaystyle a\)-t és 1 db \(\displaystyle b\)-t használunk, akkor az elkészíthető számok összege: \(\displaystyle \overline {aaab} +\overline {aaba} +\overline {abaa} +\overline {baaa} =3333a+1111b\), hasonlóképpen a többi összeg \(\displaystyle 3333b+1111a\), \(\displaystyle 3333a+1111c\), \(\displaystyle 3333c+1111a\), \(\displaystyle 3333b+1111c\), \(\displaystyle 3333c+1111b\), azaz mindösszesen \(\displaystyle 8888a+8888b+8888c\) az ilyen számok összege.

(3) Ha csak egyféle számjegyet használunk fel, akkor ezeknek a számoknak az összege \(\displaystyle \overline {aaaa} +\overline {bbbb} +\overline {cccc} =1111a+1111b+1111c\).

Az összes ilyen négyjegyű szám összege tehát \(\displaystyle (13332+6666+8888+1111)(a+b+c)=29997a+29997b+29997c=689\,931\), ahonnan \(\displaystyle a+b+c=23\). A három számjegy csak a \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 8\) és a \(\displaystyle 6\) lehetett.

I. Ha a számjegyek között szerepel a 0.
Ekkor kevesebb szám készíthető, tehát \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) összegére legalább 23-at kapunk. Mivel az egyik számjegy \(\displaystyle 0\), a másik kettő összege pedig legfeljebb \(\displaystyle 18\), ez nem lehetséges.

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Árvai Benedek, Bakurek Máté, Biró Anna, Biró Róza, Érdi Ferenc Vince, Fórizs Emma, Gaspari Márton Samu, Heim Flóra, Horváth 221 Zsóka, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kornya Gergely Csaba, Kovács Levente, Kurucz Kitti, Laczó Dávid, Lázár Bence, Lupkovics Lilla, Márkus-Deák Attila, Mayer Krisztián, Merész Benedek, Mihalik Sára, Németh Dávid László, Németh Máté, Rassai Amanda Patrícia, Simon Géza, Solymosi Csongor, Tarján Bernát, Várhegyi Hajnal Eszter.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	5 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2021. januári matematika feladatai