A K. 684. feladat (2021. február)

K. 684. \(\displaystyle a)\) Zsófi és Balázs egy \(\displaystyle 10\times 5\) kockából álló csokit darabolnak fel, és közben egy játékot játszanak, melyben a tét három kocka csoki. A csokit felváltva törik el a kockákra osztó vonalak mentén, és az veszít a játékban, aki először tör le egy egy kockából álló darabot a csokiból. A játék során egyszerre csak egy darabot foghatnak meg, és törhetnek ketté a megadott szabály szerint. A játékot Zsófi kezdi. El tudja-e érni, hogy ő nyerjen?

\(\displaystyle b)\) Az első játék után Balázs visszavágót kért, azzal a feltétellel, hogy megint Zsófi kezdjen, de most az nyerjen, aki először tör egy egy kockából álló darabot. El tudja-e érni Zsófi, hogy ismét ő nyerjen?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Zsófinak két \(\displaystyle 5\times5\)-ös darabot kell törnie. Ezután Balázs az egyik darabot eltöri valahogyan, és Zsófinak ugyanazt a törést kell végrehajtania a másik darabon. Innentől kezdve előáll az a helyzet, hogy minden darabnak van egy vele azonos méretű párja, így Zsófi meg tudja ismételni Balázs törését Balázs darabjának a párján, és ezt követően ismét minden darabnak lesz egy vele azonos méretű párja. Ha Zsófi ezt a taktikát folytatja, akkor ha Balázs nem tört egy egy kockányi darabot, akkor ő sem fog, ha pedig Balázs tört ilyet, akkor Zsófi győzelmével véget ért a játék. (És ez előbb-utóbb nyilván bekövetkezik, hiszen a darabok egyre kisebbek lesznek.)

b) Zsófinak két \(\displaystyle 5\times5\)-ös darabot kell törnie. Ezután Balázs az egyik darabot eltöri valahogyan. Ha tört egy egy kocka szélességű darabot, akkor Zsófi letör belőle egy kockányit, és nyert. Ha nem tört ilyet Balázs, akkor Zsófi az előző játékból megismert taktikát folytatja: ugyanazt a törést hajtja végre a másik darabon, mint Balázs. Innentől kezdve ismét előáll az a helyzet, hogy minden darabnak van egy vele azonos méretű párja. Ha Balázs a soron következő törésében tör egy egy kocka szélességű darabot, akkor Zsófi nyert, ha nem, akkor pedig Zsófi meg tudja ismételni Balázs törését Balázs darabjának a párján, és ezt követően ismét minden darabnak lesz egy vele azonos méretű párja. Ha Zsófi ezt a taktikát folytatja, akkor mindenképpen előbb fog egy egy kockányi darabot törni, mint Balázs, így Zsófi győzelmével ér véget a játék. (És ez előbb-utóbb nyilván bekövetkezik, hiszen a darabok egyre kisebbek lesznek.)

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bacsek Emma Borbála, Baksa Anna, Barta Veronika, Biró Anna, Biró Róza, Buday Noémi, Érdi Ferenc Vince, Fodor Gergely, Fórizs Emma, Gaspari Márton Samu, Görcsös Ákos Attila, Görgényi András Levente, Gulyás Janka, Heim Flóra, Horváth 221 Zsóka, Jenei Ákos Zoltán, Klusóczki-Bogdándi Alma, Kurucz Kitti, Lázár Bence, Mayer Krisztián, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nagy 123 Krisztina, Sándor Eszter, Schäffer Donát, Sebestyén József Tas, Simon Géza, Szeibert Dominik, Tarján Bernát.
5 pontot kapott:	Árvai Benedek, Heltovics Lilla, Kéki Edit, Kovács Levente.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai