A K. 687. feladat (2021. február)

K. 687. Egy utca egyik oldalán áll valahány játékrobot. Egy lépésben pontosan négy robotnak tudunk parancsot adni, hogy menjen át az út túloldalára. Hány robot esetén lehet elérni, hogy a robotok az utca túloldalára kerüljenek át?

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. 1, 2 és 3 robot esetén nem lehetséges (hiszen nincsen 4 robot, akinek parancsot adunk).

4 robot esetén 1 parancs elegendő.

Belátjuk, hogy páros sok robot esetén megoldható a feladat, páratlan sok robot esetén pedig nem.

Ha a robotok száma 4-gyel osztható, akkor négyesével meg lehet oldani a feladatot.

Ha a robotok száma 4-gyel osztva 2 maradékot ad (és legalább 6), akkor az első hat robotnak (A, B, C, D, E és F) a következő parancsokat adjuk: ABCD, ABCE. Így a D és E robotok átjutottak és a robotok száma a kiindulási oldalon már osztható 4-gyel. Innen a feladat megoldható négyesével átküldve a robotokat.

Ha a robotok száma páratlan, nem lehet megoldani a feladatot, mert egy-egy lépésben páros sok robottal változhat a robotok száma az utca egy-egy oldalán ($\displaystyle 4-0 = 4$, $\displaystyle 3-1 = 2$, $\displaystyle 2-2 = 0$, $\displaystyle 1-3 = -2$, $\displaystyle 0-4 = -4$). Kezdetben páratlan sok robot volt a kiindulási oldalon, így nem lehet a végén $\displaystyle 0$.

Statisztika:

106 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	55 versenyző.
5 pontot kapott:	23 versenyző.
4 pontot kapott:	8 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. februári matematika feladatai