 |
A K. 694. feladat (2021. szeptember) |
K. 694. Hány olyan hétjegyű pozitív egész szám van, melyben a számjegyek balról jobbra rendre \(\displaystyle 1\)-gyel, vagy \(\displaystyle 2\)-vel növekednek? (Pl. a \(\displaystyle 1\,234\,678\) ilyen szám.)
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az első számjegy legfeljebb 3 lehet.
Ha az első számjegy 1, akkor az utolsó számjegy 7, vagy 8, vagy 9 lehet.
Ha 7 az utolsó számjegy, akkor a számjegyek balról jobbra rendre 1-gyel nőnek (1234567), ha 8 az utolsó számjegy, akkor pontosan egy esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. Ez hatféleképpen valósulhat meg: 1234568, 1234578, 1234678, 1235678, 1245678, 1345678.
Ha pedig 9 az utolsó számjegy, akkor pontosan két esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. A hat hely közül kettőt kell kiválasztanunk, amit \(\displaystyle (6 \cdot 5 : 2 = )15\)-féleképpen tehetünk meg.
Így összesen \(\displaystyle 1 + 6 + 15 =22\) olyan megfelelő szám van, melynek 1 az első számjegye.
Ha az első számjegy 2, akkor az utolsó számjegy 8 vagy 9 lehet. Ha 8 az utolsó számjegy, akkor a számjegyek balról jobbra rendre 1-gyel nőnek (2345678), ha pedig 9 az utolsó számjegy, akkor pontosan egy esetben lesz a szomszédos számjegyek különbsége 2, a többi szomszéd különbsége pedig 1. Ez hatféleképpen valósulhat meg: 2345679, 2345689, 2345789, 2346789, 2356789, 2456789.
Így összesen 7 olyan szám van, melynek a 2 az első számjegye.
Egy olyan szám van, amelynek a 3 az első számjegye (3456789).
Tehát összesen \(\displaystyle 22 + 7 + 1 = 30\) ilyen szám van.
Statisztika:
142 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 65 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 17 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző. Nem versenyszerű: 7 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 4 dolgozat.
A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai