A K. 695. feladat (2021. szeptember)

K. 695. Egy \(\displaystyle ABCD\) négyzet alakú papírlap \(\displaystyle BC\) oldalán kiválasztunk egy \(\displaystyle P\) pontot. A négyzetlapot behajtjuk az \(\displaystyle AP\) vonal mentén úgy, hogy a \(\displaystyle B\) pont egyenlő távolságra kerüljön a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsoktól. A \(\displaystyle B\) pont új helyét a papíron \(\displaystyle B'\)-vel jelöljük. Határozzuk meg a \(\displaystyle CB'D\) szög nagyságát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A hajtás miatt az \(\displaystyle ABP\) és \(\displaystyle AB'P\) háromszögek egybevágók, így \(\displaystyle AB' = AB\). Mivel \(\displaystyle B'C = B'D\), így \(\displaystyle B'\) rajta van a \(\displaystyle CD\) oldal felezőmerőlegesén, ami egybeesik az \(\displaystyle AB\) oldal felezőmerőlegesével, így \(\displaystyle AB' = BB'\), tehát az \(\displaystyle ABB'\) háromszög egyenlő oldalú, minden szöge \(\displaystyle 60^\circ\)-os. \(\displaystyle B'AD\sphericalangle = BAD\sphericalangle-BAB'\sphericalangle=90^{\circ}-60^{\circ}=30^\circ\), a \(\displaystyle B'AD\) háromszögben (\(\displaystyle AB =)AB' = AD\), így \(\displaystyle ADB'\sphericalangle = AB'D\sphericalangle =\frac{180^{\circ}-B'AD\sphericalangle}{2}=75^\circ\). Hasonlóan \(\displaystyle BB'C\sphericalangle = 75^\circ\), így \(\displaystyle CB'D \sphericalangle= 360^{\circ}-AB'D\sphericalangle-AB'B\sphericalangle-BB'C\sphericalangle=360^\circ- 75^\circ- 60^\circ- 75^\circ= 150^\circ\).

Statisztika:

97 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2021. szeptemberi matematika feladatai