 |
A K. 706. feladat (2021. november) |
K. 706. Egy három oszlopból álló táblázat első sorába beírtunk 3 számot balról jobbra haladva, nevezzük ezeket a, b, c-nek. A második sorba az a−b, b−c, c−a számok kerülnek. A harmadik sorba a második sor elemeiből ugyanezen szabály szerint előállított számok kerülnek (az első, második és harmadik helyen álló számokkal végzett műveleteket tekintve), és így folytatjuk tovább a táblázat kitöltését. Mutassuk meg, hogy a táblázatban a negyedik sortól kezdve nem fordulhat elő a 2021.
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Sajnos a feladat szövegéből kimaradt, hogy egész számokról van szó. Aki jó megoldást adott, feltételezve, hogy egész számokról van szó, az megkapta az 5 pontot.
Megoldás, ha egész számokról van szó: Az első sor a, b, c. A második sor a−b, b−c, c−a. A harmadik sor a+c−2b, b+a−2c, c+b−2a. A negyedik sor 3c−3b, 3a−3c, 3b−3a. Innen kezdve minden szám 3-mal osztható lesz, mert 3-mal osztható számok különbségeként fogjuk előállítani. Mivel a 2021 nem osztható 3-mal, ezért nem fordulhat elő a táblázat 4. sorától kezdve.
Ha nem tesszük fel, hogy egész számokról van szó, akkor a megoldás pl. a következő: Az ötödik sor (3c−3b)−(3a−3c)=6c−3a−3b, (3a−3c)−(3b−3a)=6a−3b−3c és (3b−3a)−(3c−3b)=6b−3a−3c. Legyen mondjuk a=0 és b=1, ekkor 6c−3=2021 alapján c=10123. Tehát megadható olyan a, b, c számhármas, melyre a 2021 szerepel pl. az 5. sorban. Aki megfelelő indoklással adott példát olyan a, b és c számokra, amelyek esetén a 4. sor után valamelyik szám 2021, az is megkapta az 5 pontot.
Statisztika:
70 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai
|
|