A K. 706. feladat (2021. november)

K. 706. Egy három oszlopból álló táblázat első sorába beírtunk 3 számot balról jobbra haladva, nevezzük ezeket \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\)-nek. A második sorba az \(\displaystyle a-b\), \(\displaystyle b-c\), \(\displaystyle c-a\) számok kerülnek. A harmadik sorba a második sor elemeiből ugyanezen szabály szerint előállított számok kerülnek (az első, második és harmadik helyen álló számokkal végzett műveleteket tekintve), és így folytatjuk tovább a táblázat kitöltését. Mutassuk meg, hogy a táblázatban a negyedik sortól kezdve nem fordulhat elő a 2021.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Sajnos a feladat szövegéből kimaradt, hogy egész számokról van szó. Aki jó megoldást adott, feltételezve, hogy egész számokról van szó, az megkapta az 5 pontot.

Megoldás, ha egész számokról van szó: Az első sor \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). A második sor \(\displaystyle a-b\), \(\displaystyle b-c\), \(\displaystyle c-a\). A harmadik sor \(\displaystyle a+c-2b\), \(\displaystyle b+a-2c\), \(\displaystyle c+b-2a\). A negyedik sor \(\displaystyle 3c-3b\), \(\displaystyle 3a-3c\), \(\displaystyle 3b-3a\). Innen kezdve minden szám 3-mal osztható lesz, mert 3-mal osztható számok különbségeként fogjuk előállítani. Mivel a 2021 nem osztható 3-mal, ezért nem fordulhat elő a táblázat 4. sorától kezdve.

Ha nem tesszük fel, hogy egész számokról van szó, akkor a megoldás pl. a következő: Az ötödik sor \(\displaystyle (3c-3b)-(3a-3c)=6c-3a-3b\), \(\displaystyle (3a-3c)-(3b-3a)=6a-3b-3c\) és \(\displaystyle (3b-3a)-(3c-3b)=6b-3a-3c\). Legyen mondjuk \(\displaystyle a=0\) és \(\displaystyle b=1\), ekkor \(\displaystyle 6c-3=2021\) alapján \(\displaystyle c=\frac{1012}{3}\). Tehát megadható olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számhármas, melyre a 2021 szerepel pl. az 5. sorban. Aki megfelelő indoklással adott példát olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) számokra, amelyek esetén a 4. sor után valamelyik szám 2021, az is megkapta az 5 pontot.

Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	51 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	8 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2021. novemberi matematika feladatai