 |
A K. 719. feladat (2022. február) |
K. 719. Kiszínezzük a számegyenesen az egész számokat jelző pontok mindegyikét kék vagy piros színnel. Igaz-e bármilyen, a feltételnek megfelelő színezés esetén, hogy
\(\displaystyle a)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3;
\(\displaystyle b)\) biztosan lesz két azonos színű pont, melyek távolsága 3 vagy 4?
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Nem igaz. Színezzük a páros számokat jelző pontokat pirosra, a páratlanokat kékre. Ekkor az azonos színű pontok távolsága csak páros lehet, vagyis 3 nem.
Másképp: Nem igaz. Készítünk egy olyan színezést, melyben két azonos színű pont távolsága nem lehet 3.
Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és így tovább (-3 , -6, -9, … esetén is.)
Legyen az 1 kék, ekkor a 4 piros, a 7 kék, a 10 piros és így tovább (negatív irányban is hasonlóan). . A kék színű 2-ből is hasonlóképpen kiindulva felváltva színezzük a pontokat: az 5 piros, a 8 kék, a 11 piros, stb. (és negatív irányban ugyanígy).
(Ha az egészre ránézünk: hármasával vannak színezve a pontok, \(\displaystyle (0;1;2)\) kék, \(\displaystyle (3;4;5)\) és \(\displaystyle (-3;-4;-5)\) piros, \(\displaystyle (6;7;8)\) és \(\displaystyle (-6;-7;-8)\) kék, stb.; így minden pont harmadszomszédja éppen másik színű, mint ő maga.)
b) Az állítás igaz. Legyen a 0 pl. kék. Ekkor a 3 piros, a 6 kék, a 9 piros és a 12 kék kell legyen, hogy ne legyen két 3 távolságra lévő pont azonos színű. Viszont, ha a 0 kék színű, akkor a 4 piros, a 8 kék és a 12 piros kell legyen, hogy ne legyen két 4 távolságra lévő pont azonos színű. De így a 12 egyszer kék, egyszer piros színű lenne, ami nem lehet, azaz lesz vagy 3, vagy 4 távolságra két azonos színű pont.
Statisztika:
82 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 65 versenyző. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. februári matematika feladatai