A K. 720. feladat (2022. február)

K. 720. Vágjunk fel három egyenlő területű részre egy szabályos hatszöget az egyik csúcsán átmenő két egyenessel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2022. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy szabályos hatszög felbontható hat egybevágó szabályos háromszögre. A hatszög területének harmada két ilyen szabályos háromszög területével egyenlő területű. Egy ilyen szabályos háromszög területe legyen $\displaystyle t$, ekkor a hatszög területe $\displaystyle 6t$. Használjuk az ábra jelöléseit.

Húzzuk be az $\displaystyle A$ csúcsból a $\displaystyle CD$ szakasz $\displaystyle P$ felezőpontján átmenő egyenest. $\displaystyle T_{ABC}=t$, mert a $\displaystyle 2t$ területű $\displaystyle ABCK$ rombusz területének a fele. $\displaystyle T_{ACP}= T_{ADP}$, mert $\displaystyle DP=CP$ és a két háromszögben ezekhez az oldalakhoz ugyanaz a magasság tartozik. (A háromszög súlyvonala felezi a területét.) Így $\displaystyle T_{ACP} = (T_{ABCD} -T_{ABC}):2 = (3t-t):2=t$, és így $\displaystyle T_{ABCP}= T_{ABC}+ T_{ACP} =t+t=2t$, tehát az $\displaystyle ABCP$ négyszög területe valóban a hatszög területének harmada. A másik területharmadoló egyenes pedig az $\displaystyle AQ$ egyenes, ahol $\displaystyle Q$ azt $\displaystyle ED$ oldal felezőpontja.

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna Márton, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Csiszár András, Deményi Zalán, Derűs Ádám , Domján István, Fercsák Flórián, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Gyuricsek Ákos, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Klement Tamás, Körmendi György, Kriston Nándor, Ladányi Nóra, Lipták Bence , Márfai Dóra, Mayer Máté, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Nagy Anna Éva, Oláh András, Papp Zsófia, Pocsay Levente László, Pulka Gergely Tamás, Rási Bence, Sebők Violetta Írisz, Szabó Donát, Személyi Sebestyén Gábriel, Téglás Dorka, Thuróczy Géza, Ujpál Bálint, Wang Kehan.
4 pontot kapott:	Fehér Eszter, Herpai József Mátyás, Kisszölgyémi Zsófia, Palásthy Bánk, Polyányi Lora Molli, Suhajda Linda , Wodala Gréta Klára.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2022. februári matematika feladatai