A K. 746. feladat (2022. december)

K. 746. Egy kis országban bevezették, hogy a földgázfogyasztásért az alábbiak szerint kell fizetni: Az új elszámolás bevezetését követő első évben az első 1700 $\displaystyle \mathrm{m}^3$ gáz ára 100 peták/$\displaystyle \mathrm{m}^3$, a további fogyasztás ára 750 peták/$\displaystyle \mathrm{m}^3$. A kedvezményesen vásárolható mennyiséget az országos éves átlagfogyasztás alapján állapítják meg minden évben, az előző évi fogyasztási adatok alapján. Hétköznapi János ebben az országban él, és egy évig használja a gázt ezekkel a feltételekkel. Tekintettel azonban a túl magas fizetendő összegre elhatározza, hogy takarékoskodni fog, és kevesebb gázt használ el. Sikerül is az éves gázfogyasztását 10%-kal csökkentenie a következő évre, azonban, mivel mindenki hasonlóan gondolkodott, az éves gázfogyasztás országos átlaga 15%-kal csökkent. Hétköznapi János azt vette észre, hogy a második évben hiába fogyasztott kevesebb gázt, mégis többet kellett fizetnie (az egész évet tekintve), mint az első évben. Mennyi lehetett Jánosunk első éves gázfogyasztása?

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A második évben az $\displaystyle 1700$ m$\displaystyle ^3$-es országos átlagfogyasztás $\displaystyle 15$%-kal csökkent, tehát $\displaystyle 0,85\cdot1700=1445$ lett. Ha János 10%-kal csökkentett fogyasztása $\displaystyle 1445$ m$\displaystyle ^3$ alatt lett volna, akkor az első évben legfeljebb $\displaystyle 1605,56$ m$\displaystyle ^3$ gázt fogyasztott volna el, és így mindkét évben a kedvezményes gázmennyiségen belül maradt volna, vagyis a kevesebb fogyasztással csökkent volna a második évi számlája. Legyen $\displaystyle x$ m$\displaystyle ^3$ a János által az első évben elfogyasztott gáz mennyisége. A fentiek szerint két esetet kell vizsgálnunk:

1. eset: $\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700$, mert ekkor az első évben csak kedvezményes áron fogyasztott gázt, míg a második évben már a kedvezményes határ felett is vásárolt, a megnövelt áron.

2. eset: $\displaystyle x > 1700$, mert ekkor mindkét évben fogyasztott a kedvezményes árnál drágább gázból is.

1. eset vizsgálata: Ha $\displaystyle 1605,56 < x \leq 1700$, akkor János az első évben $\displaystyle x\cdot100$ petákot, a második évben pedig $\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100$ petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy $\displaystyle x\cdot100 < (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100$. Rendezés után azt kapjuk, hogy $\displaystyle x > 1633,48$.

2. eset vizsgálata: Ha $\displaystyle x > 1700$, akkor János az első évben $\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100$ petákot, a második évben $\displaystyle (0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100$ petákot fizetett. Mivel a második évben többet fizetett, mint az első évben, ezért igaz, hogy $\displaystyle (x-1700)\cdot750+1700\cdot100<(0,9x-1445)\cdot750+1445\cdot100$. Rendezve az egyenlőtlenséget $\displaystyle 75x<165\,750$, azaz $\displaystyle x<2210$.

Tehát ha János a második évben többet fizetett, mint az első évben, akkor a fogyasztása $\displaystyle 1633,48$ és $\displaystyle 2210$ m$\displaystyle ^3$ közé esett az első évben.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csikai Anna Alida, Denke-Pataki Dávid, Derűs Ádám , Domján István, Gergely-Szóráth Dávid, Horváth Imre, Illés Hanna, Komlósdi Sára, Kökény Kristóf, Sipos Márton, Stingli Zsuzsanna, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szabó Zétény Attila, Tóth 207 Bence.
3 pontot kapott:	26 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	4 dolgozat.

A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai