A K. 771. feladat (2023. május)

K. 771. Ferike pontosan kilenc négyzet alakú részre vágott fel egy téglalapot. A négyzeteket megvizsgálva Ferike észrevette, hogy az egyiknek a területe \(\displaystyle 64~\mathrm{cm}^2\), két másiké \(\displaystyle 16~\mathrm{cm}^2\), a többié pedig \(\displaystyle 4~\mathrm{cm}^2\). Mekkora volt az eredeti téglalap kerülete?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A kilenc négyzet területösszege egyenlő az eredeti téglalap területé­vel, ami

\(\displaystyle 64 + 2 \cdot 16 + 6 \cdot 4 = 120 ~\text{cm}^2.\)

A négyzetek oldalai \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 4\), illetve \(\displaystyle 2\) centiméteresek. A négyzetek oldalai páros számok, így a téglalap oldalai is azok voltak. A \(\displaystyle 120\) négyféleképpen bontható fel két páros szám szorzatára:

\(\displaystyle 120 = 2 \cdot 60 = 4 \cdot 30 = 6 \cdot 20 = 10 \cdot 12.\)

Ezek közül csak a legutolsó lehetséges, hiszen a legnagyobb négyzet oldala \(\displaystyle 8\) cm hosszú, így a téglalap oldalai is legalább \(\displaystyle 8\) cm hosszúak. A \(\displaystyle 10\)-szer \(\displaystyle 12\)-es téglalap valóban kirakható a négyzetekből úgy, hogy a \(\displaystyle 6\) kicsi darabot egymás mellé sorban lerakjuk, alá a legnagyobbat, illetve a nagy mellé a két közepes darab éppen elfér egymás alá.

A téglalap kerülete \(\displaystyle 2 \cdot (10 + 12) = 44\) centiméter.

Megjegyzés. A konstrukció ábrával történő megadása önmagában nem teljes értékű megoldás. A megoldás során meg kell mutatni, hogy más elrendezés nem lehetséges.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bodor Csanád, Castro Csongor, Csikai Anna Alida, Domján István, Hodossy-Takács Ráhel, Horváth Imre, Juhász Noel, Kiss Máté, Kókai Ákos, Libor Andrea, Mátyás Míra, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Páternoszter Tamás, Pulka Gergely Tamás, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Tóth Hanga Katalin.
4 pontot kapott:	Derűs Ádám , Ligeti Ábel.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai