A K. 784. feladat (2023. november)

K. 784. Helyettesítsük be a \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 9\)-ig terjedő számjegyeket egy kivételével az alábbi betűk helyére úgy, hogy a kialakuló, két háromjegyű szám különbségeként kapott eredmény a lehető legközelebb legyen a \(\displaystyle 300\)-hoz:

\(\displaystyle ABC - DEF = GHJ. \)

Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle 300\)-tól lehető legkisebb különbséggel eltérő eredmény csak egyféleképpen hozható létre. (Különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2023. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás.

A különbség \(\displaystyle 300\) nem lehet, mert ekkor a \(\displaystyle 0\)-t kétszer kéne felhasználnunk.

A különbség \(\displaystyle 301\) sem lehet. Ugyanis, ha a kivonásnál \(\displaystyle 10\)-es átlépés nem következik be a szám végén, akkor a tízesek helyén \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEF\) ugyanazt a számjegyet tartalmazza, ha viszont \(\displaystyle 10\)-es átlépés következik be, akkor az csak \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 9\) végű számok között lehet, de \(\displaystyle 0\)-ból csak egyet használhatunk fel.

A különbség \(\displaystyle 299\) sem lehet, mert ekkor két \(\displaystyle 9\)-est kéne használnunk.

\(\displaystyle 298\) sem lehet az eredmény. Ha a kivonásnál nincs \(\displaystyle 10\)-es átlépés, akkor \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEF\) utolsó számjegye \(\displaystyle 9\) és \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 8\) és \(\displaystyle 0\), de így számjegyismétlés lenne. Ha viszont tízes átlépés van, akkor az eredmény csak úgy végződhet \(\displaystyle 98\)-ra, ha a tízesek helyén a két számban azonos számjegy áll, pl. \(\displaystyle 465-167\). Ez sem megengedett, ezért a \(\displaystyle 298\) sem érhető el.

A \(\displaystyle 302\) elérhető, így ez a legkisebb eltérésű ilyen szám. A \(\displaystyle 302\) viszont kétféleképpen is előállítható a kívánt módon: \(\displaystyle 302=761-459\) és \(\displaystyle 302=871-569\). (Tehát az eredeti állítás nem igaz.)

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csabai Samu, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Juhász Gergely, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Kapiller Ákos Péter, Kóródy Vera, Kőhidi Kata, Kubica Ádám, Lupkovics Lázár, Olajos Anna, Ördög Dominik, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péterfia Kamilla, Schmidt Marcell, Szalóki Árpád, Székely Belián, Tamás Attila Gábor, Timár Vince , Tóth Luca, Válek Péter.
4 pontot kapott:	Dóry Johanna, Gáti Benjamin, Kriston Regő Márton, Máté Kristóf, Németh Ábel, Szabó Máté, Terjék Temes.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	35 dolgozat.

A KöMaL 2023. novemberi matematika feladatai