A K. 800. feladat (2024. február)

K. 800. Négy különböző pozitív prímszám összege $\displaystyle 50$. Melyik négy prímszám lehet ez?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. március 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. A 2 biztosan nem szerepel a prímek között, mert akkor páratlan lenne az összegük.

A prímszámok 48-ig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

A legkisebb prímszám közülük legfeljebb 7 lehet, mert $\displaystyle 11+13+17+19>50$.

Ha a 7 a legkisebb: 7+11+13+17=48 a legkisebb elérhető összeg, amit 2-vel kell növelnünk, hogy megfelelő legyen és erre az egyetlen lehetőség a 7, 11, 13, 19 választás.

Ha az 5 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 45.

A legnagyobb szereplő prím szerint keressük meg az összes lehetőséget.

43, 41 nyilván nem lehet a legnagyobb. 37+3+5 (nem megfelelő, mert 3 a legkisebb és az 5 kétszer szerepel). 31+7+7 (nem megfelelő), 29+3+13 (nem megfelelő), 29+5+11 (nem megfelelő), 23+3+19 (nem megfelelő), 23+5+17 (nem megfelelő) 23+11+11 (nem megfelelő).

19+7+19 (nem megfelelő), 19+13+13 (nem megfelelő). 17+11+17 (nem megfelelő).

Tehát nem találtunk olyan megfelelő prímnégyest, melyben az 5 a legkisebb.

Ha a 3 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 47.

Mivel a következő két prím összege 5+7=12, így a szereplő legnagyobb prím legfeljebb 35 lehet.

31+5+11 (jó), 29+5+13 (jó), 29+7+11 (jó), 23+5+19 (jó), 23+7+17 (jó), 23+11+13 (jó), 19+11+17 (jó).

Összesen tehát nyolc megfelelő prímszámnégyest találtunk:

7+11+13+19, 3+5+11+31, 3+5+13+29, 3+7+11+29, 3+5+19+23, 3+7+17+23, 3+11+13+23, 3+11+17+19.

2. (alternatív) megoldás. Legyenek a feladatban szereplő különböző pozitív prímszámok $\displaystyle p$, $\displaystyle q$, $\displaystyle r$, $\displaystyle s$. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy

amelyekre a feltétel szerint teljesül, hogy

ahol a $\displaystyle p$, $\displaystyle q$, $\displaystyle r$, $\displaystyle s$ prímek mindegyike a

$\displaystyle 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23, \,29,\, 31,\, 37,\, 41,\, 43,\, 47$

prímek közül kerül ki, hiszen ezek fordulnak elő $\displaystyle 50$-ig.

A legkisebb prím $\displaystyle p$, és ez nem lehet $\displaystyle 2$, mert akkor $\displaystyle q+r+s=48$, de a $\displaystyle 48$ nem lehet $\displaystyle 3$ darab páratlan prímszám összege.

A feladat megoldását a továbbiakban az (1) egyenlőtlenségeknek megfelelően a legkisebb prímszám megkeresésére alapozzuk.

Világos, hogy $\displaystyle p\leq 7$, hiszen $\displaystyle p>7$ esetén a $\displaystyle 7$-nél nagyobb négy legkisebb prím összegére

$\displaystyle 11+13+17+19=60,$

és ez ellentmond (2)-nek. Ezért elegendő a

$\displaystyle p=3,\quad p=5,\quad p=7$

esetek vizsgálata.

I. eset. Ha $\displaystyle p=3$. akkor (2) szerint $\displaystyle q+r+s=47$ és az összeadandó prímek közül a legkisebb $\displaystyle q$. Ha most $\displaystyle q=5$, akkor $\displaystyle r+s=42$, és ez csak a következő esetekben állhat fenn:

$\displaystyle r+s=11+31=42,\quad r+s=13+29=42,\quad r+s=19+23=42,$

a többi esetben $\displaystyle r$, $\displaystyle s$ közül legalább az egyik nem prímszám, továbbá nyilvánvaló, hogy $\displaystyle r>19$ nem lehetséges, hiszen $\displaystyle r<s$ és $\displaystyle r+s=42$.

Ha pedig $\displaystyle q=7$, akkor $\displaystyle r+s=40$, egyszerű számolással láthatjuk, hogy ez az összeg csak az

$\displaystyle r+s=11+29=40,\quad r+s=17+23=40$

esetekben fordulhat elő, és az is nyilvánvaló, hogy $\displaystyle r>17$ nem ad megoldást.

A $\displaystyle q=11$ esetben $\displaystyle r+s=36$, ez csak a következőképpen lehetséges:

$\displaystyle r+s=13+23=36,\quad r+s=17+19=36,$

és $\displaystyle r>17$ már nem ad megoldást, mert $\displaystyle r<s$.

A $\displaystyle q\geq 13$ nem fordulhat elő, mert már $\displaystyle q=13$-ra is $\displaystyle r+s=34$ és $\displaystyle r>q$ miatt $\displaystyle r\geq 17$, ugyanakkor (1) miatt $\displaystyle r<s$.

II. eset. Ha a legkisebb prímre $\displaystyle p=5$, akkor (2) miatt $\displaystyle q+r+s=45$. Az összegben szereplő prímek közül a legkisebb $\displaystyle q$, amelyre egyrészt $\displaystyle q\geq 7$, ugyanakkor $\displaystyle q<13$, utóbbi nyilván azért, mert már $\displaystyle q=13$ esetén is $\displaystyle r+s=32$, és ebben az összegben $\displaystyle r$ legalább $\displaystyle 17$, de akkor nem teljesülne, hogy $\displaystyle r<s$.

Eszerint csak a $\displaystyle q=7$ és $\displaystyle q=11$ lehetőségeket kell megvizsgálni, ekkor $\displaystyle r+s=38$, illetve $\displaystyle r+s=34$. Számolással egyszerűen belátható, hogy egyik esetben sem kapunk a feltételeknek megfelelő megoldást, mert az összeadandó $\displaystyle r$, $\displaystyle s$ számok közül legalább az egyik nem prím, vagy $\displaystyle r<s$ nem áll fenn. Ebből az következik, hogy $\displaystyle p\neq 5$.

III. eset. A $\displaystyle p=7$ prím esetén $\displaystyle q+r+s=43$. Ebben az összegben a legkisebb prímre az (1) feltétel miatt $\displaystyle q\geq 11$-nek kell teljesülnie. A $\displaystyle q=11$ értéket választva $\displaystyle r+s=32$, ez csak egyféle módon, az

$\displaystyle r+s=13+19=32$

alakban írható fel, mert a többi esetben nem teljesül, hogy $\displaystyle q<r<s$. Ebből világosan látható, hogy $\displaystyle q>11$ sem lehetséges.
Minden esetet megvizsgáltunk és összesen $\displaystyle 8$, a feladat minden feltételének eleget tevő megoldást kaptunk, ezeket a következő táblázatban foglaltuk össze:

Statisztika:

94 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Chen Peidong, Csáki Anikó, Dömők Bernadett, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kóródy Vera, Kriston Regő Márton, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Sajó Marcell 16, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Bálint Levente, Tóth Luca, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Csabai Samu, Farkas Simon, Gáti Benjamin, Juhász Gergely, Kámán-Gausz Péter, Kőhidi Kata, Kubica Ádám, Máté Kristóf, Miskolci Ábel, Német 964 István , Németh Ábel, Péterfia Kamilla, Piller Zsófia, Pintér Lilianna, Sárvári Vanda, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szedmák Szabrina, Válek Péter.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	41 dolgozat.

A KöMaL 2024. februári matematika feladatai