A K. 805. feladat (2024. március)

K. 805. Rajzoljunk egy kis szabályos háromszöget, majd a következő ábrán ezt a háromszöget rakjuk körbe ugyanilyen kis háromszögekkel egy rétegben úgy, hogy egy nagyobb szabályos háromszöget kapjunk, majd ezt a második háromszöget is rakjuk körbe kis szabályos háromszögekkel úgy, hogy egy nagyobb szabályos háromszöget kapjunk, és így tovább.

$\displaystyle a)$ Hány kis háromszögből áll a huszadik ilyen háromszög?

$\displaystyle b)$ Hány kis háromszögből áll az $\displaystyle n$-edik ilyen háromszög?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A háromszögek oldalhossza minden lépésben $\displaystyle 1+2=3$ egységgel nő (lásd az ábrát).

$\displaystyle a)$ A 20. háromszög oldalának hossza így $\displaystyle 1+19\cdot3=58$. Az alsó sorban $\displaystyle 58+57=115$ kis háromszög van. A második sorban $\displaystyle 57+56=113$, és így tovább.

$\displaystyle b)$ Az $\displaystyle n$-edik háromszög oldalának hossza az a) feladat megállapítása alapján $\displaystyle 1+(n-1)\cdot3=3n-2$. Az alsó sorban $\displaystyle 3n-2+3n-3=6n-5$ kis háromszög van. A második sorban $\displaystyle 3n-3+3n-4=6n-7$, és így tovább.

A kis háromszögek száma: $\displaystyle (6n-5)+(6n-7)+(6n-9)+\dots+5+3+1$, ami egy ($\displaystyle 3n-2$)-tagú összeg, így az eredmény $\displaystyle =(6n-4)\cdot(3n-2):2=(3n-2)^2$.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Juhász Zsombor, Olajos Anna, Tóth Luca.
4 pontot kapott:	Chen Peidong, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gyerkó Anna, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Németh Ábel, Pázmándi Renáta , Piller Zsófia, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szalóki Árpád, Timár Vince , Viczián Adél.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	24 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai