Problem K. 809. (April 2024)

K. 809. Let \(\displaystyle a_1\) be a positive integer from which we create a sequence according to the following rule. If the decimal form of \(\displaystyle a_n\) is \(\displaystyle 10A_n+b_n\) (where \(\displaystyle b_n\) is the unit digit of \(\displaystyle a_n\)), then \(\displaystyle a_{n+1}=A_n+6b_n\). Show that either all terms of the sequence are divisible by \(\displaystyle 59\) or none of them are.

János Urbán (1939–2012), Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük a számsorozatban az \(\displaystyle a_{n+1}\) tag \(\displaystyle 10\)-szeresét:

Az (1) összefüggésből láthatjuk, hogy \(\displaystyle 10\cdot a_{n+1}\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle 10A_n+b_n\) osztható vele.

Mivel \(\displaystyle 10\) és \(\displaystyle 59\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle a_{n+1}\) is pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle a_n=10A_n+b_n\) osztható volt \(\displaystyle 59\)-cel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Vehetjük a sorozatban az \(\displaystyle a_{n}=10A_n+b_n\) tag \(\displaystyle 6\)-szorosát is, ekkor:

\(\displaystyle 6(10A_n+b_n)=60A_n+6b_n=59A_n+(A_n+6b_n),\)

ami pontosan akkor osztható 59-cel, mint amikor \(\displaystyle a_{n+1}=A_n+6b_n\) osztható vele. Mivel \(\displaystyle (6,59)=1\), ezért \(\displaystyle a_{n+1}\) is pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle a_n=10A_n+b_n\) osztható \(\displaystyle 59\)-cel.

Statistics:

33 students sent a solution.
5 points:	Chen Peidong, Fülöp Magdaléna, Juhász Zsombor, Olajos Anna, Szabó Máté, Válek Péter.
4 points:	Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Kóródy Vera, Pázmándi Renáta , Szalóki Árpád, Tóth Luca.
2 points:	4 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024