 |
A K. 809. feladat (2024. április) |
K. 809. Legyen \(\displaystyle a_1\) egy pozitív egész szám, amelyből létrehozunk egy sorozatot a következő szabály szerint. A sorozat első tagját (\(\displaystyle a_1\)) felírjuk – a tízes számrendszerbeli alakját felhasználva – \(\displaystyle a_1=10A_1+b_1\) alakban, ahol \(\displaystyle b_1\) az egyesek helyén álló számjegy. Ebből kiindulva képezzük a sorozat további tagjait az \(\displaystyle a_{n+1}={A_n+6b_n}\) szabály szerint. Igazoljuk, hogy az így képzett sorozatra teljesül, hogy vagy mindegyik tagja osztható \(\displaystyle 59\)-cel, vagy egyik sem.
Urbán János (Budapest) (1939–2012) feladata alapján
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tekintsük a számsorozatban az \(\displaystyle a_{n+1}\) tag \(\displaystyle 10\)-szeresét:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 10\cdot a_{n+1}=10\cdot (A_n+6b_n)=10A_n+b_n+59b_n.\) |
Az (1) összefüggésből láthatjuk, hogy \(\displaystyle 10\cdot a_{n+1}\) pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle 10A_n+b_n\) osztható vele.
Mivel \(\displaystyle 10\) és \(\displaystyle 59\) relatív prímek, ezért \(\displaystyle a_{n+1}\) is pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle a_n=10A_n+b_n\) osztható volt \(\displaystyle 59\)-cel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. Vehetjük a sorozatban az \(\displaystyle a_{n}=10A_n+b_n\) tag \(\displaystyle 6\)-szorosát is, ekkor:
\(\displaystyle 6(10A_n+b_n)=60A_n+6b_n=59A_n+(A_n+6b_n),\)
ami pontosan akkor osztható 59-cel, mint amikor \(\displaystyle a_{n+1}=A_n+6b_n\) osztható vele. Mivel \(\displaystyle (6,59)=1\), ezért \(\displaystyle a_{n+1}\) is pontosan akkor osztható \(\displaystyle 59\)-cel, ha \(\displaystyle a_n=10A_n+b_n\) osztható \(\displaystyle 59\)-cel.
Statisztika:
33 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Chen Peidong, Fülöp Magdaléna, Juhász Zsombor, Olajos Anna, Szabó Máté, Válek Péter. 4 pontot kapott: Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Kóródy Vera, Pázmándi Renáta , Szalóki Árpád, Tóth Luca. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 12 dolgozat.
A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai