A K. 809. feladat (2024. április)

K. 809. Legyen $\displaystyle a_1$ egy pozitív egész szám, amelyből létrehozunk egy sorozatot a következő szabály szerint. A sorozat első tagját ($\displaystyle a_1$) felírjuk – a tízes számrendszerbeli alakját felhasználva – $\displaystyle a_1=10A_1+b_1$ alakban, ahol $\displaystyle b_1$ az egyesek helyén álló számjegy. Ebből kiindulva képezzük a sorozat további tagjait az $\displaystyle a_{n+1}={A_n+6b_n}$ szabály szerint. Igazoljuk, hogy az így képzett sorozatra teljesül, hogy vagy mindegyik tagja osztható $\displaystyle 59$-cel, vagy egyik sem.

Urbán János (Budapest) (1939–2012) feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük a számsorozatban az $\displaystyle a_{n+1}$ tag $\displaystyle 10$-szeresét:

Az (1) összefüggésből láthatjuk, hogy $\displaystyle 10\cdot a_{n+1}$ pontosan akkor osztható $\displaystyle 59$-cel, ha $\displaystyle 10A_n+b_n$ osztható vele.

Mivel $\displaystyle 10$ és $\displaystyle 59$ relatív prímek, ezért $\displaystyle a_{n+1}$ is pontosan akkor osztható $\displaystyle 59$-cel, ha $\displaystyle a_n=10A_n+b_n$ osztható volt $\displaystyle 59$-cel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Megjegyzés. Vehetjük a sorozatban az $\displaystyle a_{n}=10A_n+b_n$ tag $\displaystyle 6$-szorosát is, ekkor:

$\displaystyle 6(10A_n+b_n)=60A_n+6b_n=59A_n+(A_n+6b_n),$

ami pontosan akkor osztható 59-cel, mint amikor $\displaystyle a_{n+1}=A_n+6b_n$ osztható vele. Mivel $\displaystyle (6,59)=1$, ezért $\displaystyle a_{n+1}$ is pontosan akkor osztható $\displaystyle 59$-cel, ha $\displaystyle a_n=10A_n+b_n$ osztható $\displaystyle 59$-cel.

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Chen Peidong, Fülöp Magdaléna, Juhász Zsombor, Olajos Anna, Szabó Máté, Válek Péter.
4 pontot kapott:	Gaál Gergely, Hajnal Ákos Huba, Kóródy Vera, Pázmándi Renáta , Szalóki Árpád, Tóth Luca.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	12 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai