A K. 810. feladat (2024. április)

K. 810. Az $\displaystyle ABCD$ trapézban $\displaystyle AB\parallel CD$ és $\displaystyle AB=3CD$, valamint $\displaystyle CD=DA$. Határozzuk meg a trapéz szögeit, ha tudjuk, hogy $\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}$.

német versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az $\displaystyle ABCD$ trapéz, tehát $\displaystyle CDA \sphericalangle + DAB\sphericalangle=180^{\circ}$. Tudjuk, hogy a $\displaystyle CDA\sphericalangle=120^{\circ}$, ezért a $\displaystyle DAB\sphericalangle=60^{\circ}$. Jelölje $\displaystyle H_1$ és $\displaystyle H_2$ az $\displaystyle AB$ oldal harmadolópontjait, továbbá jelöljük $\displaystyle c$-vel a $\displaystyle CD=DA$ szakasz hosszát. Ekkor tehát $\displaystyle CD=DA=AH_1=H_1H_2=H_2B=c$. Mivel $\displaystyle CD=AH_1$ és $\displaystyle DC \parallel AH_1$, az $\displaystyle AH_1CD$ négyszög parallelogramma, hiszen két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő. Így $\displaystyle DCH_1\sphericalangle=60^{\circ}$, továbbá $\displaystyle AH_1C\sphericalangle=120^{\circ}$, valamint $\displaystyle CH_1=c$. Ekkor a $\displaystyle CH_1H_2 \triangle$ szabályos, ugyanis egyenlő szárú, és a két szár által bezárt szöge $\displaystyle 60^{\circ}$. Ebből következően $\displaystyle CH_2=c$, tehát a $\displaystyle CH_2B\triangle$ is egyenlő szárú, szárszöge pedig $\displaystyle 120^{\circ}$. Ennek a háromszögnek tehát az alapon fekvő szögei $\displaystyle H_2BC\sphericalangle=BCH_2\sphericalangle=30^{\circ}$. Összefoglalva tehát az $\displaystyle ABCD$ trapéz kérdéses szögei :

$\displaystyle DAB\sphericalangle=60^{\circ}, \hspace{0.5 cm} H_2BC\sphericalangle=30^{\circ}, \hspace{0.5cm}BCD\sphericalangle=150^{\circ}.$

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Araguas Mátyás, Bihi Boglárka, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Dömők Bernadett, Farkas Simon, Feith Benedek, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Gyerkó Anna, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Juhász Zsombor, Kiss Domonkos László, Kóródy Vera, Kőhidi Kata, Máté Kristóf, Mondovics Gábor , Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Péterfia Kamilla, Pintér Lilianna, Pivárcsik Márk, Sajó Marcell 16, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Timár Vince , Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Fitori Csanád, Gaál Gergely, Gárdonyi Zsolt, Mezei Kamilla , Paksy-Szabó Győző , Roszik Szabolcs, Tóth Bálint Levente, Yan Zhebeier.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	34 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai