Problem K. 811. (April 2024)

K. 811. We have filled in the squares of the \(\displaystyle 8\times 8\) chessboard with the positive integers from \(\displaystyle 1\) to \(\displaystyle 64\) in increasing order, starting from the top left corner and proceeding row by row. Is it possible to delete two numbers from two adjacent squares (two squares sharing an edge or a vertex) such that the sum of the remaining numbers is exactly \(\displaystyle 2024\)?

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A sakktáblára írt számok összege

\(\displaystyle \displaystyle{1+2+3+...+64=\frac{64}{2}\cdot65=2080}.\)

Ezért két olyan, élben vagy csúcsban szomszédos mezőt kell keresnünk, amelyekre írt számok összege \(\displaystyle 56\).

Ez a két mező nem lehet a sakktábla ugyanazon sorában, mert az egy sorban levő bármely két élben szomszédos mezőjén álló számok összege páratlan, hiszen az egyik páros szám, a másik páratlan.

A két kiválasztott mező tehát élben szomszédos csak úgy lehet, ha egy oszlopban helyezkednek el, ekkor viszont a tábla számozási konstrukciója miatt a két szám közül a nagyobbikból a kisebbet kivonva \(\displaystyle 8\)-at kapunk. Legyen a kisebb szám \(\displaystyle x\), ekkor a nagyobb szám \(\displaystyle x+8\), ezzel \(\displaystyle 2x+8=56\), ahonnan

\(\displaystyle x=24\)

következik, ez a sakktáblán a \(\displaystyle 3.\) sor utolsó mezőjén álló szám. Ha ezt a számot, és a táblán a \(\displaystyle 4.\) sor utolsó mezőjén álló \(\displaystyle 32\)-t töröljük, akkor a táblán maradt számok összege valóban \(\displaystyle 2024\)-lesz.

Legyen most a kiválasztott szám \(\displaystyle y\), ehhez olyan számot keresünk, amelyik vele csúcsban szomszédos mezőn áll. Könnyen beláthatjuk, hogy a kiválasztott mezővel csúcsban szomszédos mezőkön csakis \(\displaystyle y-7; y+7\) vagy \(\displaystyle y-9; y+9\) állhat. A négyféle lehetőség közül bármelyiket adjuk az \(\displaystyle y\)-hoz, a

\(\displaystyle 2y-7; 2y+7; 2y-9; 2y+9\)

számok valamelyikét kapjuk.

Ezek azonban mind páratlan számok, ezért egyik sem lehet egyenlő \(\displaystyle 56\)-tal. Azt kaptuk tehát, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van: a tábláról a különböző sorban elhelyezkedő, élben szomszédos mezőkön levő \(\displaystyle 24\) és \(\displaystyle 32\) számokat kell törölni, és akkor a megmaradt számok összege \(\displaystyle 2024\) lesz.

Statistics:

92 students sent a solution.
5 points:	Bihi Boglárka, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csabai Samu, Dömők Bernadett, Farkas Simon, Gaál Gergely, Gárdonyi Zsolt, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Juhász Zsombor, Kapiller Ákos Péter, Károly Kamilla , Kóródy Vera, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Piller Zsófia, Pintér Lilianna, Roszik Szabolcs, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Timár Vince , Tóth Luca, Viczián Adél.
4 points:	Csáki Anikó, Feith Benedek, Fülöp Magdaléna, Hunyák Tamás , Kámán-Gausz Péter, Kovács 007 Benedek, Kőhidi Kata, Péterfia Kamilla, Pivárcsik Márk, Rasztgyörgy Jázmin, Sárvári Vanda, Sipos Levente, Szabó Medárd, Tóth Bálint Levente, Válek Péter.
3 points:	8 students.
2 points:	2 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	34 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024