A K. 811. feladat (2024. április)

K. 811. Egy \(\displaystyle 8\times8\)-as sakktáblára ráírtuk a pozitív egész számokat \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 64\)-ig növekvő sorrendben, a bal felső sarokban kezdve és soronként haladva. Lehetséges-e két egymással élben vagy csúcsban szomszédos mezőn álló számot a tábláról törölnünk úgy, hogy a fennmaradó számok összege éppen \(\displaystyle 2024\) legyen?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A sakktáblára írt számok összege

\(\displaystyle \displaystyle{1+2+3+...+64=\frac{64}{2}\cdot65=2080}.\)

Ezért két olyan, élben vagy csúcsban szomszédos mezőt kell keresnünk, amelyekre írt számok összege \(\displaystyle 56\).

Ez a két mező nem lehet a sakktábla ugyanazon sorában, mert az egy sorban levő bármely két élben szomszédos mezőjén álló számok összege páratlan, hiszen az egyik páros szám, a másik páratlan.

A két kiválasztott mező tehát élben szomszédos csak úgy lehet, ha egy oszlopban helyezkednek el, ekkor viszont a tábla számozási konstrukciója miatt a két szám közül a nagyobbikból a kisebbet kivonva \(\displaystyle 8\)-at kapunk. Legyen a kisebb szám \(\displaystyle x\), ekkor a nagyobb szám \(\displaystyle x+8\), ezzel \(\displaystyle 2x+8=56\), ahonnan

\(\displaystyle x=24\)

következik, ez a sakktáblán a \(\displaystyle 3.\) sor utolsó mezőjén álló szám. Ha ezt a számot, és a táblán a \(\displaystyle 4.\) sor utolsó mezőjén álló \(\displaystyle 32\)-t töröljük, akkor a táblán maradt számok összege valóban \(\displaystyle 2024\)-lesz.

Legyen most a kiválasztott szám \(\displaystyle y\), ehhez olyan számot keresünk, amelyik vele csúcsban szomszédos mezőn áll. Könnyen beláthatjuk, hogy a kiválasztott mezővel csúcsban szomszédos mezőkön csakis \(\displaystyle y-7; y+7\) vagy \(\displaystyle y-9; y+9\) állhat. A négyféle lehetőség közül bármelyiket adjuk az \(\displaystyle y\)-hoz, a

\(\displaystyle 2y-7; 2y+7; 2y-9; 2y+9\)

számok valamelyikét kapjuk.

Ezek azonban mind páratlan számok, ezért egyik sem lehet egyenlő \(\displaystyle 56\)-tal. Azt kaptuk tehát, hogy a feladatnak egyetlen megoldása van: a tábláról a különböző sorban elhelyezkedő, élben szomszédos mezőkön levő \(\displaystyle 24\) és \(\displaystyle 32\) számokat kell törölni, és akkor a megmaradt számok összege \(\displaystyle 2024\) lesz.

Statisztika:

92 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bihi Boglárka, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csabai Samu, Dömők Bernadett, Farkas Simon, Gaál Gergely, Gárdonyi Zsolt, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Juhász Zsombor, Kapiller Ákos Péter, Károly Kamilla , Kóródy Vera, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Piller Zsófia, Pintér Lilianna, Roszik Szabolcs, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Timár Vince , Tóth Luca, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Csáki Anikó, Feith Benedek, Fülöp Magdaléna, Hunyák Tamás , Kámán-Gausz Péter, Kovács 007 Benedek, Kőhidi Kata, Péterfia Kamilla, Pivárcsik Márk, Rasztgyörgy Jázmin, Sárvári Vanda, Sipos Levente, Szabó Medárd, Tóth Bálint Levente, Válek Péter.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	34 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai