Problem K. 815. (May 2024)

K. 815. Point \(\displaystyle D\) is chosen on leg \(\displaystyle BC\) of right triangle \(\displaystyle ABC\) satisfying \(\displaystyle BC=4BD\), and point \(\displaystyle E\) is chosen on leg \(\displaystyle AC\) satisfying \(\displaystyle AC=8CE\). Find the length of hypotenuse \(\displaystyle AB\) given that \(\displaystyle AD=164\) and \(\displaystyle BE=52\).

Vietnamese problem

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Legyen \(\displaystyle CE=x\), és \(\displaystyle BD=y\). A \(\displaystyle CEB\) és a \(\displaystyle CAD\) háromszög derékszögű, így oldalaikra felírható a Pitagorasz-tétel:

\(\displaystyle x^2+(4y)^2=52^2,\)

\(\displaystyle (8x)^2+(3y)^2=164^2. \)

Oldjuk meg a fenti egyenletrendszert, ahol \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív számokat jelölnek. Először bontsuk ki a zárójeleket:

\(\displaystyle x^2+16y^2=2704, \)

\(\displaystyle 64x^2+9y^2=26896; \)

majd szorozzuk meg az első egyenletet \(\displaystyle 64\)-gyel:

\(\displaystyle 64x^2+1024y^2=173056, \)

\(\displaystyle 64x^2+9y^2=26896, \)

és vonjuk ki az így keletkezett első egyenletből a másodikat, kiküszöbölve ezzel az \(\displaystyle x^2\)-et. Ezzel a lépéssel nem veszítünk gyököt.

\(\displaystyle 1015y^2=146160. \)

Egy osztás után adódik \(\displaystyle y^2\) értéke, valamint \(\displaystyle y\)-é is, hiszen \(\displaystyle y\) csak pozitív lehet:

\(\displaystyle y^2=144,\)

\(\displaystyle y=12.\)

Ebből következően \(\displaystyle x^2\)-et is ki tudjuk számolni a legelső egyenletünk segítségével:

\(\displaystyle x^2+(4\cdot12)^2=2704,\)

\(\displaystyle x^2=2704-2304=400,\)

\(\displaystyle x=20.\)

Ebből következően \(\displaystyle CA=160\), \(\displaystyle CB=48\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt, azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle 160^2+48^2=27904=AB^2=2^8\cdot 109.\)

Így az átfogó keresett hossza:

\(\displaystyle BC=16\sqrt{109}\approx 167,0449.\)

Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:	Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Dömők Bernadett, Farkas Simon, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Kóródy Vera, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Roszik Szabolcs, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél.
4 points:	Feith Benedek, Kovács 007 Benedek, Módis Marcell, Ördög Dominik, Papp Emese Petra, Pintér Lilianna, Sipos Levente, Szabó Medárd, Timár Vince .
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024