 |
A K. 815. feladat (2024. május) |
K. 815. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög \(\displaystyle BC\) befogóján úgy vettük fel a \(\displaystyle D\) pontot, hogy \(\displaystyle BC=4BD\), az \(\displaystyle AC\) befogón felvett \(\displaystyle E\) pontra pedig \(\displaystyle AC=8CE\) teljesül.
Határozzuk meg az \(\displaystyle AB\) átfogó hosszát, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle AD=164\) és \(\displaystyle BE=52\).
vietnámi feladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás.
Legyen \(\displaystyle CE=x\), és \(\displaystyle BD=y\). A \(\displaystyle CEB\) és a \(\displaystyle CAD\) háromszög derékszögű, így oldalaikra felírható a Pitagorasz-tétel:
\(\displaystyle x^2+(4y)^2=52^2,\)
\(\displaystyle (8x)^2+(3y)^2=164^2. \)
Oldjuk meg a fenti egyenletrendszert, ahol \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív számokat jelölnek. Először bontsuk ki a zárójeleket:
\(\displaystyle x^2+16y^2=2704, \)
\(\displaystyle 64x^2+9y^2=26896; \)
majd szorozzuk meg az első egyenletet \(\displaystyle 64\)-gyel:
\(\displaystyle 64x^2+1024y^2=173056, \)
\(\displaystyle 64x^2+9y^2=26896, \)
és vonjuk ki az így keletkezett első egyenletből a másodikat, kiküszöbölve ezzel az \(\displaystyle x^2\)-et. Ezzel a lépéssel nem veszítünk gyököt.
\(\displaystyle 1015y^2=146160. \)
Egy osztás után adódik \(\displaystyle y^2\) értéke, valamint \(\displaystyle y\)-é is, hiszen \(\displaystyle y\) csak pozitív lehet:
\(\displaystyle y^2=144,\)
\(\displaystyle y=12.\)
Ebből következően \(\displaystyle x^2\)-et is ki tudjuk számolni a legelső egyenletünk segítségével:
\(\displaystyle x^2+(4\cdot12)^2=2704,\)
\(\displaystyle x^2=2704-2304=400,\)
\(\displaystyle x=20.\)
Ebből következően \(\displaystyle CA=160\), \(\displaystyle CB=48\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt, azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 160^2+48^2=27904=AB^2=2^8\cdot 109.\)
Így az átfogó keresett hossza:
\(\displaystyle BC=16\sqrt{109}\approx 167,0449.\)
Statisztika:
50 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Dömők Bernadett, Farkas Simon, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Kóródy Vera, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Roszik Szabolcs, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél. 4 pontot kapott: Feith Benedek, Kovács 007 Benedek, Módis Marcell, Ördög Dominik, Papp Emese Petra, Pintér Lilianna, Sipos Levente, Szabó Medárd, Timár Vince . Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 16 dolgozat.
A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai