Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem K. 816. (May 2024)

K. 816. Expression \(\displaystyle {E(x)=\frac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\frac{5x}{2x^2+3x}-\frac{20x}{9-4x^2}}\) is given. Find integers \(\displaystyle x\) for which \(\displaystyle E(x)\) is a natural number.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A kifejezést először egyszerűbb alakra hozzuk:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x-3)}{(2x-3)^2}-\frac{5x}{x(2x+3)}+\frac{20x}{(2x-3)(2x+3)}}.\)

Az (1) összefüggésből látható, hogy \(\displaystyle E(x)\) az egész számok közül csak \(\displaystyle x=0\) esetén nem értelmezhető, hiszen \(\displaystyle 2x-3\) és \(\displaystyle 2x+3\) értéke egyetlen egész számra sem nulla. Közös nevezőre hozással kapjuk, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x+3)-5(2x-3)+20x}{(2x-3)(2x+3}},\)

a számlálóban kijelölt műveleteket elvégezve, rendezés után

\(\displaystyle (2)\)\(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{9(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{9}{2x-3}}.\)

Az \(\displaystyle E(x)\) természetes szám, ha \(\displaystyle 2x-3\) pozitív osztója a \(\displaystyle 9\)-nek. Ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle 2x-3\in \{1,3,9\},\)

azaz \(\displaystyle E(x)\) az \(\displaystyle x=2, x=3, x=6\) egész számok esetén lesz természetes szám, mégpedig

\(\displaystyle E(2)=9;\quad E(3)=3;\quad E(6)=1.\)


Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:Araguas Mátyás, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél.
4 points:Béres Tamás, Farkas Simon, Gaál Gergely, Kovács 007 Benedek, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sipos Dániel Sándor, Timár Vince .
3 points:6 students.
2 points:8 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:22 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024