Problem K. 816. (May 2024)
K. 816. Expression \(\displaystyle {E(x)=\frac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\frac{5x}{2x^2+3x}-\frac{20x}{9-4x^2}}\) is given. Find integers \(\displaystyle x\) for which \(\displaystyle E(x)\) is a natural number.
Matlap (Kolozsvár)
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kifejezést először egyszerűbb alakra hozzuk:
\(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x-3)}{(2x-3)^2}-\frac{5x}{x(2x+3)}+\frac{20x}{(2x-3)(2x+3)}}.\) |
Az (1) összefüggésből látható, hogy \(\displaystyle E(x)\) az egész számok közül csak \(\displaystyle x=0\) esetén nem értelmezhető, hiszen \(\displaystyle 2x-3\) és \(\displaystyle 2x+3\) értéke egyetlen egész számra sem nulla. Közös nevezőre hozással kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x+3)-5(2x-3)+20x}{(2x-3)(2x+3}},\)
a számlálóban kijelölt műveleteket elvégezve, rendezés után
\(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{9(2x+3)}{(2x-3)(2x+3)}=\frac{9}{2x-3}}.\) |
Az \(\displaystyle E(x)\) természetes szám, ha \(\displaystyle 2x-3\) pozitív osztója a \(\displaystyle 9\)-nek. Ez azt jelenti, hogy
\(\displaystyle 2x-3\in \{1,3,9\},\)
azaz \(\displaystyle E(x)\) az \(\displaystyle x=2, x=3, x=6\) egész számok esetén lesz természetes szám, mégpedig
\(\displaystyle E(2)=9;\quad E(3)=3;\quad E(6)=1.\)
Statistics:
64 students sent a solution. 5 points: Araguas Mátyás, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél. 4 points: Béres Tamás, Farkas Simon, Gaál Gergely, Kovács 007 Benedek, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sipos Dániel Sándor, Timár Vince . 3 points: 6 students. 2 points: 8 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student. Not shown because of missing birth date or parental permission: 22 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024