A K. 816. feladat (2024. május)

K. 816. Adott az $\displaystyle {E(x)=\dfrac{8x-12}{4x^2-12x+9}-\dfrac{5x}{2x^2+3x}-\dfrac{20x}{9-4x^2}}$ kifejezés. Határozzuk meg azon $\displaystyle x$ egész számokat, amelyekre $\displaystyle E(x)$ természetes szám.

Matlap (Kolozsvár)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kifejezést először egyszerűbb alakra hozzuk:

Az (1) összefüggésből látható, hogy $\displaystyle E(x)$ az egész számok közül csak $\displaystyle x=0$ esetén nem értelmezhető, hiszen $\displaystyle 2x-3$ és $\displaystyle 2x+3$ értéke egyetlen egész számra sem nulla. Közös nevezőre hozással kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{E(x)=\frac{4(2x+3)-5(2x-3)+20x}{(2x-3)(2x+3}},$

a számlálóban kijelölt műveleteket elvégezve, rendezés után

Az $\displaystyle E(x)$ természetes szám, ha $\displaystyle 2x-3$ pozitív osztója a $\displaystyle 9$-nek. Ez azt jelenti, hogy

$\displaystyle 2x-3\in \{1,3,9\},$

azaz $\displaystyle E(x)$ az $\displaystyle x=2, x=3, x=6$ egész számok esetén lesz természetes szám, mégpedig

$\displaystyle E(2)=9;\quad E(3)=3;\quad E(6)=1.$

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Araguas Mátyás, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Luca, Válek Péter, Viczián Adél.
4 pontot kapott:	Béres Tamás, Farkas Simon, Gaál Gergely, Kovács 007 Benedek, Máté Kristóf, Németh Ábel, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sipos Dániel Sándor, Timár Vince .
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	22 dolgozat.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai